Модули римановой поверхности

- числен ные характеристики (параметры), одни и те же для всех конформно эквивалентных римановых поверхностей, в своей совокупности характеризующие конформный класс эквивалентности данной римановой поверхности. При этом две римановы поверхности R1 и R2 наз. конформно эквивалентными, если существует конформное отображение R1 на R2. Напр., конформные классы компактных римановых поверхностей топологии, рода g>l характеризуются 6g-6 действительными М. р. п.; риманова поверхность типа тора (g=l) характеризуется двумя модулями; "-связная плоская область, рассматриваемая как риманова поверхность с краем, при [img: http://localhost:8080/file/031416-147.jpg] характеризуется Зп- 6 модулями. О структуре пространства М. р. п. см. Римановых поверхностей конформные классы. Необходимым условием конформной эквивалентности двух плоских областей является одинаковая связность этих областей. Согласно Римана теореме все односвязные области с более чем одной граничной точкой конформно эквивалентны друг другу: каждую такую область можно конформно отобразить на одну и ту же канонич. область, в качестве к-рой обычно рассматривают единичный круг. Для областей связности [img: http://localhost:8080/file/031416-148.jpg], точного эквивалента теоремы Римана не существует: нельзя указать какую-либо фиксированную область, на к-рую можно однолистно и конформно отобразить все области данного порядка связности. Это привело к более гибкому определению канонич. n-связной области, к-рое указывает общую геометрпч. структуру этой области, но не фиксирует ее модулей (см. Конформное отображение). Каждая двусвязная область Dплоскости z с невырожденными граничными континуумами может быть конформно отображена на нек-рое круговое кольцо [img: http://localhost:8080/file/031416-149.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031416-150.jpg]. Отношение R/r радиусов граничных окружностей этого кольца является конформным инвариантом и наз. модулем двусвязной области D. Пусть D- область связности [img: http://localhost:8080/file/031416-151.jpg], с невырожденной границей. Область Dможно конформно отобразить на нек-рую n-связную круговую область [img: http://localhost:8080/file/031416-152.jpg], представляющую собой круговое кольцо [img: http://localhost:8080/file/031416-153.jpg] с п-2 выброшенными кругами, ограниченными окружностями [img: http://localhost:8080/file/031416-154.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031416-155.jpg] окружности [img: http://localhost:8080/file/031416-156.jpg] лежат в кольце [img: http://localhost:8080/file/031416-157.jpg] и попарно не имеют общих точек. При этом можно считать, что R = 1 и w1>0. Тогда область [img: http://localhost:8080/file/031416-158.jpg] зависит от [img: http://localhost:8080/file/031416-159.jpg] действительных параметров: от п-1 чисел [img: http://localhost:8080/file/031416-160.jpg] и от [img: http://localhost:8080/file/031416-161.jpg] действительных параметров, определяющих центры [img: http://localhost:8080/file/031416-162.jpg] окружностей [img: http://localhost:8080/file/031416-163.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031416-164.jpg]. Эти [img: http://localhost:8080/file/031416-165.jpg] действительных параметров и являются модулями и-с вязной области Dв случае [img: http://localhost:8080/file/031416-166.jpg] В качестве модулей n-связной области Dможно взять и другие [img: http://localhost:8080/file/031416-167.jpg] действительных параметров ([img: http://localhost:8080/file/031416-168.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/031416-169.jpg], и [img: http://localhost:8080/file/031416-170.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/031416-171.jpg]), определяющих конформное отображение области Dна нек-рую канонич. n-связную область другого вида.