Модуль автоморфизма

- действительное положительное число, ставящееся в соответствие автоморфизму локально компактной группы. Если G- такая группа и [img: http://localhost:8080/file/031416-339.jpg] - нек-рый автоморфизм группы Gкак топологич. группы, то модуль автоморфизма [img: http://localhost:8080/file/031416-340.jpg] определяется формулой [img: http://localhost:8080/file/031416-341.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031416-342.jpg] - левоинвариантная мера Хаара на группе Gи [img: http://localhost:8080/file/031416-343.jpg] - любое компактное подмножество группы Gположительной меры (причем [img: http://localhost:8080/file/031416-344.jpg] не зависит от S). Если G компактна или дискретна, то всегда [img: http://localhost:8080/file/031416-345.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/031416-346.jpg], т. к. для компактной группы можно положить [img: http://localhost:8080/file/031416-347.jpg], а для дискретной [img: http://localhost:8080/file/031416-348.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031416-349.jpg] - любой элемент G. Если [img: http://localhost:8080/file/031416-350.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031416-351.jpg] - два автоморфизма группы G, то [img: http://localhost:8080/file/031416-352.jpg] Если Г - нек-рая топологич. группа, к-рая непрерывно действует на группу Gавтоморфизмами, то [img: http://localhost:8080/file/031416-353.jpg] определяет непрерывный гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031416-354.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031416-355.jpg] - мультипликативная группа действительных положительных чисел. В частности, сопоставляя каждому элементу [img: http://localhost:8080/file/031416-356.jpg] порождаемый им внутренний автоморфизм группы G и рассматривая модуль этого автоморфизма, получают непрерывный гомоморфизм Gв группу [img: http://localhost:8080/file/031416-357.jpg]. Этот гомоморфизм тривиален тогда и только тогда, когда левоинвариантная мера Хаара на группе Gявляется одновременно и правоинвариантной. Группы, удовлетворяющие последнему условию, наз. унимодулярными. Другой пример - локально компактное тело К, каждый ненулевой элемент [img: http://localhost:8080/file/031416-358.jpg] к-рого определяет автоморфизм умножения на [img: http://localhost:8080/file/031416-359.jpg] аддитивной группы тела К. Функция [img: http://localhost:8080/file/031416-360.jpg] используется при изучении структуры локально компактных тел.