Модулярная группа

- группа Г всех дробно-линейных преобразований [img: http://localhost:8080/file/031416-389.jpg] вида [img: http://localhost:8080/file/031416-390.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031416-391.jpg] - целые рациональные числа. М. г. отождествляется с факторгруппой [img: http://localhost:8080/file/031416-392.jpg], и является дискретной подгруппой в группе Ли [img: http://localhost:8080/file/031416-393.jpg]. Здесь [img: http://localhost:8080/file/031416-394.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/031416-395.jpg]) - группа матриц [img: http://localhost:8080/file/031416-396.jpg] - действительные (соответственноцелые) числа, [img: http://localhost:8080/file/031416-397.jpg] М. г. является дискретной группой преобразований верхней комплексной полуплоскости [img: http://localhost:8080/file/031416-398.jpg] (плоскости Лобачевского) и допускает представление образующими [img: http://localhost:8080/file/031416-399.jpg] и соотношениями [img: http://localhost:8080/file/031416-400.jpg], т. е. является свободным произведением циклич. группы порядка 2, порожденной S, и циклич. группы порядка 3, порожденной ST (см. [2]). Интерес к М. г. связан с изучением модулярных функций, римановой поверхностью к-рых является фактор-пространство HIT, отождествляемое с фундаментальной областью GМ. г. Компактификация [img: http://localhost:8080/file/031416-401.jpg] аналитически изоморфна комплексной проективной прямой, причем изоморфизм задается основной модулярной функцией [img: http://localhost:8080/file/031416-402.jpg]. Фундаментальная область Gимеет конечную площадь Лобачевского [img: http://localhost:8080/file/031416-403.jpg] т. е. М. г. есть фуксова группа 1-го рода (см. [3]). Для решетки [img: http://localhost:8080/file/031416-404.jpg] решетка [img: http://localhost:8080/file/031416-405.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031416-406.jpg], эквивалентна [img: http://localhost:8080/file/031416-407.jpg], т. е. получается из [img: http://localhost:8080/file/031416-408.jpg] умножением элементов последней на ненулевое комплексное число [img: http://localhost:8080/file/031416-409.jpg] Каждой решетке соответствует комплексный тор [img: http://localhost:8080/file/031416-410.jpg], аналитически эквивалентный неособой кубич. кривой (эллиптич. кривой). Это дает взaимнooднoзначное соответствие между точками факторпространства [img: http://localhost:8080/file/031416-411.jpg], классами эквивалентных решеток и классами (аналитически) эквивалентных эллиптич. кривых (см. [3]). Исследование подгруппы М. г. представляет интерес в теории модулярных форм и алгебраических кривых. Главной конгруэнц-подгруппой [img: http://localhost:8080/file/031416-412.jpg] М. г. уровня [img: http://localhost:8080/file/031416-413.jpg] (N - целое число) наз. группа преобразований [img: http://localhost:8080/file/031416-414.jpg] вида (1), у к-рых [img: http://localhost:8080/file/031416-415.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031416-416.jpg]. Подгруппа [img: http://localhost:8080/file/031416-417.jpg] наз. конгруэнцподгруппой, если [img: http://localhost:8080/file/031416-418.jpg] для нек-рого числа N;наименьшее такое Nназ. уровнем [img: http://localhost:8080/file/031416-419.jpg] Примеры конгруэнц-подгрупп уровня N:группа [img: http://localhost:8080/file/031416-420.jpg] преобразований (1) с с, делящимся на N, группа [img: http://localhost:8080/file/031416-421.jpg] преобразований (1) с [img: http://localhost:8080/file/031416-422.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031416-423.jpg]. Индекс подгруппы [img: http://localhost:8080/file/031416-424.jpg] в М. г. равен [img: http://localhost:8080/file/031416-425.jpg] если N>2, р - простые числа и 6, если N-2, поэтому каждая конгруэнцтподгруппа имеет конечный индекс в М. г. Каждой подгруппе [img: http://localhost:8080/file/031416-426.jpg] конечного индекса в М. г. соответствует полная алгебраич. кривая [img: http://localhost:8080/file/031416-427.jpg] (модуляр ная кривая), полученная из факторпространства [img: http://localhost:8080/file/031416-428.jpg], и накрытие [img: http://localhost:8080/file/031416-429.jpg]. Изучение ветвления этого накрытия позволяет найти для конгруэнц-подгрупп Г образующие и соотношения, род кривой [img: http://localhost:8080/file/031416-430.jpg] и доказать, что существуют подгруппы конечного индекса в М. г., не являющиеся конгруэнц-подгруппами (см. [3], [8], [7] т. 2). Изучение представлений М. г. началось в работах (см. [4], [6]) в связи с теорией модулярных форм. Такие представления интенсивно изучаются в рамках теории автоморфных форм (см. [7]). Многие результаты, относящиеся к М. г., переносятся на случай арифметич. подгрупп в алгебраич. группах Ли.