Модулярная кривая

- полная алгебраич. кривая [img: http://localhost:8080/file/031416-431.jpg], униформизуемая подгруппой [img: http://localhost:8080/file/031416-432.jpg] конечного индекса модулярной группы Г; точнее, М. к. есть полная алгебраич. кривая, получаемая из факторпро-странства [img: http://localhost:8080/file/031416-433.jpg], где Н- верхняя полуплоскость, присоединением конечного числа параболич. точек (классов эквивалентности относительно [img: http://localhost:8080/file/031416-434.jpg] рациональных точек границы области Н). Наиболее известные примеры подгрупп [img: http://localhost:8080/file/031416-435.jpg] конечного индекса в Г - конгруэнц-подгруппы, содержащие для нек-рого целого [img: http://localhost:8080/file/031416-436.jpg] главную конгруэнц-подгруппу [img: http://localhost:8080/file/031416-437.jpg] уровня N, представимую матрицами [img: http://localhost:8080/file/031416-438.jpg] (см. Модулярная группа). Наименьшее такое Nназ. уровнем подгруппы [img: http://localhost:8080/file/031416-439.jpg]. В частности, подгруппа [img: http://localhost:8080/file/031416-440.jpg], представимая матрицами, к-рые сравнимы с верхними треугольными матрицами по mod N, имеет уровень N. Каждой подгруппе [img: http://localhost:8080/file/031416-441.jpg] конечного индекса соответствует накрытие М. к. [img: http://localhost:8080/file/031416-442.jpg], к-рое разветвлено только над образами точек [img: http://localhost:8080/file/031416-443.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031416-444.jpg]. Для конгруэнц-подгрупп [img: http://localhost:8080/file/031416-445.jpg] ветвление этого накрытия позволяет определить род М. к. [img: http://localhost:8080/file/031416-446.jpg], доказать существование подгрупп Г конечного индекса в Г, не являющихся конгруэнц-подгруппами (см. [4] т. 2 и [2]). Род кривой [img: http://localhost:8080/file/031416-447.jpg] равен 0 для [img: http://localhost:8080/file/031416-448.jpg] и равен [img: http://localhost:8080/file/031416-449.jpg] р - простые, при [img: http://localhost:8080/file/031416-450.jpg]. М. к. всегда определена над полем алгебраич. чисел (обычно над [img: http://localhost:8080/file/031416-451.jpg] или его круговым расширением). Рациональные функции на М. к. поднимаются до модулярных функций (высшего уровня) и образуют поле; автоморфизмы этого, поля изучены (см. [2]). Голоморфная дифференциальная форма на М. к. [img: http://localhost:8080/file/031416-452.jpg] задается на Ндифференциалом [img: http://localhost:8080/file/031416-453.jpg] (где [img: http://localhost:8080/file/031416-454.jpg] - голоморфная функция), инвариантным относительно преобразований [img: http://localhost:8080/file/031416-455.jpg] при этом [img: http://localhost:8080/file/031416-456.jpg] есть модулярная форма веса 2 относительно Г. Дзета-функция М. к. есть произведение Меллина преобразований модулярных форм и, следовательно, она имеет мероморфное продолжение и удовлетворяет функциональному уравнению. Этот факт послужил отправной точкой теории Ленглендса - Вейля о связи модулярных форм и рядов Дирихле (см. [7], [8]). В частности, есть предположение, что каждая зллиптич. кривая над полем [img: http://localhost:8080/file/031416-457.jpg] (кондуктора N)униформизуется модулярными функциями уровня N. Гомологии М. к. связаны с модулярными символами, что позволяет исследовать арифметику значений дзетафункции М. к. в центре критич. полосы и построить р-адическую дзета-функцию М. к. (см. [1]). М. к. параметризует семейство эллиптич. кривых, являясь их многообразием модулей (см. [7] т. 2). В частности, для [img: http://localhost:8080/file/031416-458.jpg] точки [img: http://localhost:8080/file/031416-459.jpg] факторпространства [img: http://localhost:8080/file/031416-460.jpg] взаимно однозначно соответствуют парам, состоящим из эллиптич. кривой [img: http://localhost:8080/file/031416-461.jpg] (аналитически эквивалентной комплексному тору [img: http://localhost:8080/file/031416-462.jpg]) и точки порядка Nна [img: http://localhost:8080/file/031416-463.jpg] (образа точки z/N). Над каждой М. к. [img: http://localhost:8080/file/031416-464.jpg] имеется естественное алгебраич. расслоение [img: http://localhost:8080/file/031416-465.jpg] на эллиптич. кривые, компактифицированное вырожденными кривыми над параболич. точками М. к. [img: http://localhost:8080/file/031416-466.jpg]. Его расслоенные степени [img: http://localhost:8080/file/031416-467.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031416-468.jpg] - целое [img: http://localhost:8080/file/031416-469.jpg], наз. многообразиями Куги (см. [3], [5]). Дзета-функции многообразий [img: http://localhost:8080/file/031416-470.jpg] связаны с преобразованиями Меллина модулярных форм, а их гомологии - с периодами модулярных форм (см. [3], [7]). Рациональные точки на М. к. соответствуют эллиптич. кривым, имеющим рациональные точки конечного порядка (или рациональные подгруппы точек), их описание (см. [6]) позволило решить проблему кручения эллиптйч. кривых над [img: http://localhost:8080/file/031416-471.jpg] Исследование геометрии и арифметики М. к. основано на использовании группы автоморфизмов проективного предела кривых [img: http://localhost:8080/file/031416-472.jpg] по убывающим [img: http://localhost:8080/file/031416-473.jpg], края (по существу) совпадает с группой [img: http://localhost:8080/file/031416-474.jpg] над кольцом Арациональных аделей. На каждой М. к. [img: http://localhost:8080/file/031416-475.jpg] это дает нетривиальное кольцо соответствий [img: http://localhost:8080/file/031416-476.jpg] (кольцо Гекке), имеющее приложения в теории модулярных форм (см. [2]).