Модулярная форма

одного комплексного переменного, эллиптическая модулярная форм а,- функция [img: http://localhost:8080/file/031416-477.jpg] на верхней полуплоскости [img: http://localhost:8080/file/031416-478.jpg], удовлетворяющая при нек-ром фиксированном кусловию автоморфности: [img: http://localhost:8080/file/031416-479.jpg] для любого элемента [img: http://localhost:8080/file/031416-480.jpg] группы [img: http://localhost:8080/file/031416-481.jpg] целочисленных матриц с определителем [img: http://localhost:8080/file/031416-482.jpg], и такая, что [img: http://localhost:8080/file/031416-483.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031416-484.jpg]. Целое число [img: http://localhost:8080/file/031416-485.jpg] наз. весом М. ф. f. Если [img: http://localhost:8080/file/031416-486.jpg], то М. ф. f наз. параболической модулярной формой. Имеется также [8] определение М. ф. для всех действительных значений к. Пример М. ф. веса [img: http://localhost:8080/file/031416-487.jpg] дает ряд Эйзенштейна (см. [4]) [img: http://localhost:8080/file/031416-488.jpg] где звездочка означает, что при суммировании пара [img: http://localhost:8080/file/031416-489.jpg] отбрасывается. При этом [img: http://localhost:8080/file/031416-490.jpg] для нечетных kи [img: http://localhost:8080/file/031416-491.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031416-492.jpg] - число Бернулли. Множество М. ф. веса кесть комплексное векторное пространство, обозначаемое [img: http://localhost:8080/file/031416-493.jpg]; при этом [img: http://localhost:8080/file/031416-494.jpg] Прямая сумма [img: http://localhost:8080/file/031416-495.jpg] образует градуированную алгебру, к-рая изоморфна кольцу многочленов от независимых переменных [img: http://localhost:8080/file/031416-496.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031416-497.jpg] (см. [3]). Для каждого [img: http://localhost:8080/file/031416-498.jpg] комплексный [img: http://localhost:8080/file/031416-499.jpg] аналитически изоморфен эллиптич. кривой, задаваемой уравнением [img: http://localhost:8080/file/031416-500.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031416-501.jpg] Дискриминант кубич. многочлена в правой части равенства (2) есть параболич. М. ф. веса 12: [img: http://localhost:8080/file/031416-502.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031416-503.jpg] - функция Рамануджана (см. [1]). Для каждого целого [img: http://localhost:8080/file/031416-504.jpg] вводятся модулярные формы высшего уровня N, удовлетворяющие условию (1) лишь для элементов [img: http://localhost:8080/file/031416-505.jpg] конгруэнц-подгруппы [img: http://localhost:8080/file/031416-506.jpg] уровня Nмодулярной группы. В этом случае с М. ф. f связан голоморфный дифференциал [img: http://localhost:8080/file/031416-507.jpg] на модулярной кривой [img: http://localhost:8080/file/031416-508.jpg], Известный пример М. ф. высшего уровня дают тэта-ряды [img: http://localhost:8080/file/031416-509.jpg] целочисленных положительно определенных квадратичных форм [img: http://localhost:8080/file/031416-510.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031416-511.jpg] к-рые суть М. ф. высшего уровня веса [img: http://localhost:8080/file/031416-512.jpg]. В этом примере [img: http://localhost:8080/file/031416-513.jpg] есть целое число, равное числу решений диофантова уравнения [img: http://localhost:8080/file/031416-514.jpg] Теория М. ф. позволяет получать оценки, а иногда в точные формулы для чисел типа [img: http://localhost:8080/file/031416-515.jpg] (такие, как сравнение Рамануджана [img: http://localhost:8080/file/031416-516.jpg] а также исследовать их свойства делимости (см. [7]). Получена наилучшая оценка для чисел типа [img: http://localhost:8080/file/031416-517.jpg] (см. [2]). Важные арифметич. приложения М. ф. связаны с рядами Дирихле [img: http://localhost:8080/file/031416-518.jpg] преобразований Меллина М. ф. f. Такие ряды Дирихле поддаются детальному изучению (оценки коэффициентов, свойства аналитичности, функциональное уравнение, разложения в эйлеровские произведения) ввиду наличия на модулярных кривых нетривиального кольца соответствий R. Для кривой [img: http://localhost:8080/file/031416-519.jpg] это кольцо порождается соответствиями [img: http://localhost:8080/file/031416-520.jpg] где g пробегает все представители элементов фактор множества [img: http://localhost:8080/file/031416-521.jpg] Соответствия индуцируют действующие на пространстве М. ф. линейные операторы (операторы Гекке), к-рые самосопряжены относительно скалярного произведения Петерсона (см. [3], [7]). М. ф., являющиеся собственными функциями операторов Гекке, характеризуются тем, что их преобразования Меллина разлагаются в эйлеровское произведение. Другие продвижения в теорий М. ф. связаны с изучением модулярных кривых и ассоциированных с ними расслоений - многообразий Куги, а также с теорией бесконечномерных представлений адельных алгебраич. групп. При этом теория М. ф. одного переменного успешно переносится на случай многих переменных (см. [6]). Обзор теоретико-числовых приложений М. ф. дан в [5].