Модулярная функция

эллиптическая модулярная функция, одного комплексного переменного - автоморфная функция комплексного переменного [img: http://localhost:8080/file/031416-522.jpg] ассоциированная с группой Г всех дробно-линейных преобразований [img: http://localhost:8080/file/031416-523.jpg] вида [img: http://localhost:8080/file/031416-524.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031416-525.jpg] - целые действительные числа (эта группа наз. модулярной). Преобразования группы Г переводят действительную ось в себя, и областью определения М. ф. можно считать верхнюю полуплоскость [img: http://localhost:8080/file/031416-526.jpg] Группа Г порождается двумя образующими [img: http://localhost:8080/file/031416-527.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031416-528.jpg]. Фундаментальная область G модулярной группы изображена на рис. 1; [img: http://localhost:8080/file/031416-533.jpg] это - криволинейный четырехугольник ABCDА с вершинами [img: http://localhost:8080/file/031416-529.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031416-530.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031416-531.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031416-532.jpg], две стороны к-рого А В и D А- отрезки прямых со ответственно [img: http://localhost:8080/file/031416-534.jpg] a BD- дуга окружности [img: http://localhost:8080/file/031416-535.jpg]. Участки границы АВ и ВС включаются в G,a CD и DA не включаются. Образы области Gпри всевозможных отображениях группы Г покрывают всю полуплоскость [img: http://localhost:8080/file/031416-536.jpg] без пересечений. Изучение М. ф. началось в 19 в. в связи с изучением эллиптич. функций и предшествовало появлению общей теории автоморфных функций. В теории М. ф. в качестве основных модулярных форм используются следующие тета-ряды: [img: http://localhost:8080/file/031416-537.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031416-538.jpg], а звездочка означает, что нулевая пара (т 1, т 2)=(0, 0) отбрасывается. Согласно терминологии К. Вейерштрасса (К. Weierstrass) это - относительные инварианты, играющие важную роль в его теории эллиптич. функций (см. Вейер штрасса эллиптические функции), а А наз. также дискриминантом. С точки зрения теории автоморфных функций это - автоморфные формы соответственно веса 2, 3 и 6, ассоциированные с модулярной группой. Основная М. ф. имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031416-539.jpg] Функция J(z) наз. также абсолютным инвариантом. Она регулярна в верхней полуплоскости, а внутри фундаментальной области Gпринимает каждое конечное значение, кроме 0 и 1, в точности один раз; кроме того, [img: http://localhost:8080/file/031417-1.jpg] В теории эллиптич. функций М. ф. J(z) играет важную роль, позволяя по заданным вейерштрассовым относительным инвариантам [img: http://localhost:8080/file/031417-2.jpg] определить периоды [img: http://localhost:8080/file/031417-3.jpg] а следовательно, и построить все эллиптич. функции Вейерштрасса. Если t - единственное в фундаментальной области решение уравнения [img: http://localhost:8080/file/031417-4.jpg] то при [img: http://localhost:8080/file/031417-5.jpg] имеем [img: http://localhost:8080/file/031417-6.jpg] при а=0 имеем [img: http://localhost:8080/file/031417-7.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031417-8.jpg] определяется из уравнения [img: http://localhost:8080/file/031417-9.jpg] при b=0 имеем t=i, и w1 определяется из уравнения [img: http://localhost:8080/file/031417-10.jpg] Для построения Якоби эллиптических функций удобнее, вместо J(z), функция [img: http://localhost:8080/file/031417-11.jpg] также называемая М. ф. На самом деле l(z). является автоморфной функцией только относительно подгруппы Г 2 модулярной группы Г, причем к Г 2 относятся все те преобразования вида (1), у к-рых (в качестве дополнительного условия) aи d- нечетные числа, bи с - четные. Фундаментальная область G2 группы Г 2 изображена на рис. 2; [img: http://localhost:8080/file/031417-14.jpg] это - криволинейный четырехугольник ABOCA с вершинами A(оо), В(-1), 0, С(1),две стороны к-рого АВ и СА- отрезки прямых соответственно х=-1 и х=1, а ВО и ОС- дуги окружностей соответственно [img: http://localhost:8080/file/031417-12.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031417-13.jpg] Участки границы слева от мнимой оси включаются в G2, а ОС и СА не включаются. Функция l(z) также регулярна в верхней полуплоскости Im z>0. Внутри области G2 она принимает каждое конечное значение, кроме 0 и 1, в точности один раз; кроме того, [img: http://localhost:8080/file/031417-15.jpg] При заданном модуле эллиптич. функций Якоби кдля их построения необходима величина t=w3 / w1. или [img: http://localhost:8080/file/031417-16.jpg] к-рая однозначно определяется из уравнения [img: http://localhost:8080/file/031417-17.jpg]. Практически, в нормальном случае 0<k<1 определяют сначала [img: http://localhost:8080/file/031417-18.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031417-19.jpg] а затем строят решение этого уравнения в виде ряда [img: http://localhost:8080/file/031417-20.jpg] М. ф. [img: http://localhost:8080/file/031417-21.jpg] связаны формулой [img: http://localhost:8080/file/031417-22.jpg] М. ф. [img: http://localhost:8080/file/031417-23.jpg] дает наиболее удобное представление конформных классов римановых поверхностей эллиптич. функций, когда род g =1. и эйлерова характеристика [img: http://localhost:8080/file/031417-24.jpg]. Каждому значению wсоответствует решение [img: http://localhost:8080/file/031417-25.jpg] уравнения [img: http://localhost:8080/file/031417-26.jpg], определяющее конформный класс и соответствующее поле эллиптич. функций. Напр., w=0соответствует параллелограмм периодов в виде ромба с углами 120° и 60°, а [img: http://localhost:8080/file/031417-27.jpg] - квадрат. М. ф. применяются также при изучении конформных отображений, граничных свойств аналитических функций и предельных множеств. М. ф. [img: http://localhost:8080/file/031417-28.jpg] дает конформное отображение левой половины фундаментальной области G(рис. 1), т. е. криволинейного треугольника ABCА, на верхнюю полуплоскость Im w>0, причем точки В, С, А переходят соответственно в 0, 1, [img: http://localhost:8080/file/031417-29.jpg]. М. ф. [img: http://localhost:8080/file/031417-30.jpg] отображает конформно криволинейный треугольник АВОА (рис. 2) на верхнюю полуплоскость, причем точки В, О, А переходят соответственно в [img: http://localhost:8080/file/031417-31.jpg] В геометрич. вопросах часто удобнее принять за область определения М. ф. единичный круг. При этом модулярная группа (1) переходит в модулярную группу автоморфизмов единичного круга. Напр., удобно применить дробно-линейное преобразование [img: http://localhost:8080/file/031417-32.jpg] переводящее верхнюю полуплоскость Im z>0 в единичный круг [img: http://localhost:8080/file/031417-33.jpg] причем точки [img: http://localhost:8080/file/031417-34.jpg] переходят соответственно в точки [img: http://localhost:8080/file/031417-35.jpg] на единичной окружности [img: http://localhost:8080/file/031417-36.jpg] (рис. 3). Тогда сложная функция [img: http://localhost:8080/file/031417-37.jpg] есть М. ф., регулярная в единичном круге и принимающая в нем все значения, кроме 0, 1, оо. Она отображает конформно криволинейный треугольник ABCА (рис. 3) [img: http://localhost:8080/file/031417-39.jpg] на верхнюю полуплоскость Im z>0. Именно эта М. ф. [img: http://localhost:8080/file/031417-38.jpg] используется при доказательстве Пикара теорем и в ряде других геометрических вопросов.