Момент

- числовая характеристика распределения вероятностей. Момент порядка А; (А;>0 - целое) случайной величины Xопределяется как мате-матич. ожидание [img: http://localhost:8080/file/031417-48.jpg], если оно существует. Если F(x). функция распределения случайной величины X, то [img: http://localhost:8080/file/031417-49.jpg] При определении М. в теории вероятностей используется прямая аналогия с соответствующим понятием, играющим важную роль в механике: формулой (*) определяется М. распределения масс, М. 1-го порядка (статич. момент в механике) случайной величины X- математич. ожидание [img: http://localhost:8080/file/031417-50.jpg]. Величина [img: http://localhost:8080/file/031417-51.jpg] наз. моментом порядка котносительно а, [img: http://localhost:8080/file/031417-52.jpg] - центральным моментом поря д к-а к. Центральный М. 2-го порядка [img: http://localhost:8080/file/031417-53.jpg] наз. дисперсиейDX(М. инерции в механике). Величина [img: http://localhost:8080/file/031417-54.jpg] наз. абсолютным моментом порядка к(абсолютный М. определяется и для нецелых к). Аналогично определяется М. совместного распределения случайных величин [img: http://localhost:8080/file/031417-55.jpg] (см. Многомерное рас пределение):. для любых целых [img: http://localhost:8080/file/031417-56.jpg] математич. ожидание [img: http://localhost:8080/file/031417-57.jpg] наз. смешанным моментом порядка к, а [img: http://localhost:8080/file/031417-58.jpg] - центральным смешанным моментом порядка к. Смешанный М. [img: http://localhost:8080/file/031417-59.jpg] наз. ковариацией и служит одной из основных характеристик зависимости между случайными величинами (см. Корреляция). Многие свойства М. (в частности, неравенства для М.) являются следствием того факта, что для любой случайной величины Xфункция [img: http://localhost:8080/file/031417-60.jpg] выпукла по А; в каждом конечном интервале, где эта функция определена; [img: http://localhost:8080/file/031417-61.jpg] является неубывающей функцией от к. Моменты [img: http://localhost:8080/file/031417-62.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031417-63.jpg] существуют тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/031417-64.jpg]. Из существования М. [img: http://localhost:8080/file/031417-65.jpg] вытекает существование всех М. порядка [img: http://localhost:8080/file/031417-66.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/031417-67.jpg] при всех [img: http://localhost:8080/file/031417-68.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031417-69.jpg] то существуют смешанные М. [img: http://localhost:8080/file/031417-70.jpg] для всех целых [img: http://localhost:8080/file/031417-71.jpg] В нек-рых случаях для определения М. бывает полезна т. н. производящая функция моментов - функция M(t), для к-рой М. распределения служат коэффициентами при разложении ее по степеням: для целочисленных случайных величин эта функция связана с производящей функцией Р(s)соотношением [img: http://localhost:8080/file/031417-72.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/031417-73.jpg], то характеристич. функция f(t). случайной величины Xимеет непрерывные производные до порядка к включительно, при лтом М. порядка кявляется коэффициентом'при [img: http://localhost:8080/file/031417-74.jpg] в разложении f(t)по степеням t [img: http://localhost:8080/file/031417-75.jpg] Если существует производная характеристич. функции порядка 2к в нуле, то [img: http://localhost:8080/file/031417-76.jpg] О связи М. с семиинвариантами см. ст. Семиинвариант. Если известны М. распределения, то можно сделать нек-рые утверждения о вероятностях отклонения случайной величины от ее математич. ожидания в терминах неравенств; наиболее известны Чебышева неравенство [img: http://localhost:8080/file/031417-77.jpg] и его обобщения. Задача, состоящая в определении распределения вероятностей последовательностью его М., носит название моментов проблемы. Впервые эта задача была рассмотрена П. Л. Чебышевым (1874) в связи с исследованиями по предельным теоремам. Для того чтобы распределение вероятностей случайной величины Xоднозначно определялось своими М. [img: http://localhost:8080/file/031417-78.jpg], достаточно, напр., выполнение условия Карлемана [img: http://localhost:8080/file/031417-79.jpg] Аналогичное утверждение справедливо и для М. случайных векторов. Использование М. при доказательстве предельных теорем основывается на следующем факте. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031417-80.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031417-81.jpg] последовательность функций распределения, все М. к-рых [img: http://localhost:8080/file/031417-82.jpg] конечны, и пусть при каждом целом [img: http://localhost:8080/file/031417-83.jpg] имеет место сходимость [img: http://localhost:8080/file/031417-84.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031417-85.jpg] конечны. Тогда существует подпоследовательность [img: http://localhost:8080/file/031417-86.jpg], слабо сходящаяся к функции распределения F, имеющей [img: http://localhost:8080/file/031417-87.jpg] своими М. Если М. определяют Fоднозначно, то последовательность Fn слабо сходится к F. На этом основан т. н. моментов метод, используемый, в частности, в математич. статистике при изучении отклонений эмпирич. распределения от теоретического и для статистич. оценки параметров распределения (о выборочных М. как об оценках М. нек-рого распределения см. Эмпирическое распределение). А. В. Прохоров.