Моментов проблема

- одна из интерполяционных задач в действительной или комплексной области. Первая четкая постановка начального варианта М. п. в действительной области принадлежит Т. Стилтьесу (Т. Stieltjes, 1894). Им в связи с исследованиями цепных дробей поставлена и фактически решена следующая задача: дана последовательность действительных чисел [img: http://localhost:8080/file/031417-103.jpg] найти ограниченную и неубывающую на [img: http://localhost:8080/file/031417-104.jpg] функцию [img: http://localhost:8080/file/031417-105.jpg] такую, что [img: http://localhost:8080/file/031417-106.jpg] Как и в каждой интерполяционной задаче, решение М. п. (1) распадается на два этапа. Задача А. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031417-107.jpg] - множество всех последовательностей действительных чисел [img: http://localhost:8080/file/031417-108.jpg], для каждой из к-рых бесконечная система уравнений (1) имеет по крайней мере одно решение [img: http://localhost:8080/file/031417-109.jpg] с указанными выше свойствами; найти необходимые и достаточные (конструктивные) условия, к-рым должны удовлетворять числа [img: http://localhost:8080/file/031417-110.jpg] для того чтобы [img: http://localhost:8080/file/031417-111.jpg] Задача В. Найти множество всех решений в классе ограниченных и неубывающих на [img: http://localhost:8080/file/031417-112.jpg] функций [img: http://localhost:8080/file/031417-113.jpg], удовлетворяющих бесконечной системе уравнений (1) при заданных [img: http://localhost:8080/file/031417-114.jpg] Левые части равенства (1) названы Т. Стилтьесом "моментами". Этот термин заимствован им из механики. Если интерпретировать [img: http://localhost:8080/file/031417-115.jpg] как массу, размещенную на [img: http://localhost:8080/file/031417-116.jpg] то интеграл [img: http://localhost:8080/file/031417-117.jpg] - масса, размещенная на [img: http://localhost:8080/file/031417-118.jpg]. И тогда интегралы (1) для [img: http://localhost:8080/file/031417-119.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031417-120.jpg] представляют собой соответственно первый (статический) и второй (инерции) моменты относительно начала координат [img: http://localhost:8080/file/031417-121.jpg] всей массы [img: http://localhost:8080/file/031417-122.jpg] (она отвечает значению [img: http://localhost:8080/file/031417-123.jpg] в (1)), размещенной на [img: http://localhost:8080/file/031417-124.jpg]. Обобщая эти понятия, Т. Стилтьес называл интеграл [img: http://localhost:8080/file/031417-125.jpg] момент о м...n-го порядка (относительно x=0) данной массы [img: http://localhost:8080/file/031417-126.jpg], распределение к-рой на [img: http://localhost:8080/file/031417-127.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031417-128.jpg] характеризуется функцией [img: http://localhost:8080/file/031417-129.jpg] Т. Стилтьес связал решение М. п. (1) следующим образом с "природой" цепной (или непрерывной) дроби, отвечающей интегралу [img: http://localhost:8080/file/031417-130.jpg] а точнее - формальному ряду [img: http://localhost:8080/file/031417-131.jpg] Интегралам [img: http://localhost:8080/file/031417-132.jpg] соответствует цепная дробь [img: http://localhost:8080/file/031417-133.jpg] а также "тесно примыкающая" к (3) цепная дробь [img: http://localhost:8080/file/031417-134.jpg] Цепная дробь (4) получается из (3) в результате "сокращений" вида [img: http://localhost:8080/file/031417-135.jpg] Опираясь на теорию цепных дробей, Т. Стилтьес доказал, что в определенном смысле необходимым и достаточным условием разрешимости системы (1) (что эквивалентно [img: http://localhost:8080/file/031417-136.jpg]) является положительность всех [img: http://localhost:8080/file/031417-137.jpg] в формуле (3), что, в свою очередь,- следствие положительности [img: http://localhost:8080/file/031417-138.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031417-139.jpg] в (4). В терминах [img: http://localhost:8080/file/031417-140.jpg] эти условия равносильны положительности определителей [img: http://localhost:8080/file/031417-141.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031417-142.jpg] М. п. (1) наз. определенной для данной последовательности [img: http://localhost:8080/file/031417-143.jpg] если система (1) имеет единственное решение [img: http://localhost:8080/file/031417-144.jpg]. В противном случае показано, что если при заданных [img: http://localhost:8080/file/031417-145.jpg], система (1) имеет более одного решения, то тогда необходимо система (1) имеет бесконечное множество решений. Пример: две функции [img: http://localhost:8080/file/031417-146.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031417-147.jpg] имеют равные моменты [img: http://localhost:8080/file/031417-148.jpg] при всех n=0, 1, 2,.... Т. Стилтьес привел эффективное построение нек-рых решений М. п. (1), к-рые, разумеется, все в известном смысле совпадают, если М. п. (1) является определенной. В случае же, когда М. п. (1) неопределенна, решения Т. Стилтьеса обладают рядом экстремальных свойств. Затем Т. Стилтьес показал, что М. п. (1) является определенной или цепной в зависимости от сходимости или расходимости цепной дроби (3) (что равносильно сходимости или расходимости ряда [img: http://localhost:8080/file/031417-149.jpg]). При этом дробь (3) может быть сходящейся к [img: http://localhost:8080/file/031417-150.jpg] в то время, как ряд [img: http://localhost:8080/file/031417-151.jpg] может расходиться для всех [img: http://localhost:8080/file/031417-152.jpg] До работы Т. Стилтьеса [1] М. п. в действительной области рассматривалась в менее общей и менее четкой постановке; таковы, напр., серия работ П. Л. Чебышева [2] и А. А. Маркова [3]. Ими в основном была исследована следующая задача: дать описание свойств класса Uфункций, определенных на [img: http://localhost:8080/file/031417-153.jpg], такого, что соотношения [img: http://localhost:8080/file/031417-154.jpg] Другими словами, здесь идет речь о максимально полной и конструктивной характеристике класса единственности Uинтерполяционной задачи (5). Решение M. п. (5) играет важную роль в теории вероятностей и математич. статистике. Имеют важное значение также многочлены [img: http://localhost:8080/file/031417-155.jpg], являющиеся знаменателями последовательных приближений (т. н. аппроксимант) цепной дроби (4). Изучение свойств систем многочленов [img: http://localhost:8080/file/031417-156.jpg] впоследствии открыло широкое поле исследований в теории ортогональных многочленов. Г. Гамбургером (G. Hamburger, 1920) М. п. (1) была обобщена на случай всей действительной оси [img: http://localhost:8080/file/031417-157.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031417-158.jpg], при этом рассмотрение отрицательных значений хвнесло ряд особенностей и не было тривиальным. Г. Гамбургер, существенно используя принцип выбора Хелли, исследовал необходимые и достаточные условия разрешимости системы [img: http://localhost:8080/file/031417-159.jpg] решив полностью задачу о сходимости цепных дробей (3) и (4), порожденных (6). Объединение задач А и В, относящихся к (6), называют проблемой моментов (6). Г. Гамбургер нашел критерий существования единственного решения М. п. (6). При этом М. п. (6) может быть неопределенной в то время, как соответствующая М. п. (1) (с теми же [img: http://localhost:8080/file/031417-160.jpg]) является определенной (имеет единственное решение). Р. Неванлинна (R. Nevanlinna, 1922) представил решение М. п. (6) с помощью интегралов [img: http://localhost:8080/file/031417-161.jpg] и изучил свойства этих решений. Ему принадлежит важное замечание о т. н. "экстремальных решениях" М. п. (6). М. Рисе (М. Riesz, 1921) нашел решение М. п. (6), опираясь на теорию квазиортогональных многочленов, состоящих из линейных комбинаций вида [img: http://localhost:8080/file/031417-162.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031417-163.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031417-164.jpg] - константы, а [img: http://localhost:8080/file/031417-165.jpg] - знаменатель к-й аппроксиманты цепной дроби (4), отвечающей М. п. (6). Он заметил тесную связь между решениями М. п. (6) и справедливостью формулы Парсеваля для системы ортогональных многочленов [img: http://localhost:8080/file/031417-166.jpg] Т. Карлеман (Т. Carleman, 1923-26) установил связь между М. п. (6), теорией квазианалитич. функций и теорией квадратичных форм от счетного множества переменных. Ему же принадлежит наиболее общий критерий определенности М. п. (6). Ф. Хаусдорф (F. Hausdorff, 1923) нашел критерий разрешимости М. п. (6) [img: http://localhost:8080/file/031417-167.jpg] при условии, что функция [img: http://localhost:8080/file/031417-168.jpg] в (6) постоянна вне заданного интервала. Он дал эффективную конструкцию решения [img: http://localhost:8080/file/031417-169.jpg] М. п. (6)(к-рое при сделанных им предположениях, отмеченных выше, всегда единственно); это дает возможность найти критерии того, чтобы решение [img: http://localhost:8080/file/031417-170.jpg] М. п. (6) дополнительно обладало рядом специальных свойств (было непрерывным, дифференцируемым и т. п.). Т. Карлеман, а затем М. Стоун (М. Stone, 1932) провели весьма полное исследование М. п. (6), базируясь на результатах теории квадратичных форм Якоби и теории сингулярных интегральных уравнений. Э. К. Хэвиленд (Е. К. Haviland, 1935) и X. Крамер (Н. Cramer, 1937) распространили теорию Рисса М. п. (6) на многомерный случай. Рассмотрены также многочисленные различные обобщения М. п. В основном упомянутые обобщения являлись вариациями (или комбинациями) следующих двух направлений: замена степеней [img: http://localhost:8080/file/031417-171.jpg] в интегралах (6) "моментными" последовательностями функций [img: http://localhost:8080/file/031417-172.jpg] другого вида, и замена левых частей равенств (6) интегралами иной природы (напр., изучался случай, когда [img: http://localhost:8080/file/031417-173.jpg] заменено на [img: http://localhost:8080/file/031417-174.jpg]) или даже операторами, действующими в абстрактных пространствах. Так, в связи с первым направлением находится т. н. тригонометрическая проблема моментов, к-рая состоит в следующем: дана бесконечная числовая последовательность [img: http://localhost:8080/file/031417-175.jpg] найти неубывающую на [img: http://localhost:8080/file/031417-176.jpg] функцию [img: http://localhost:8080/file/031417-177.jpg], удовлетворяющую соотношениям [img: http://localhost:8080/file/031417-178.jpg] т. е. решить задачи А и В для системы (7). Точные формулировки нек-рых предложений из теории М. п. в действительной области таковы. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031417-179.jpg] есть n-мерное евклидово пространство. Функция множества [img: http://localhost:8080/file/031417-180.jpg], определенная на семействе [img: http://localhost:8080/file/031417-181.jpg] всех борелевских множеств в [img: http://localhost:8080/file/031417-182.jpg], наз. функцией распределения, если [img: http://localhost:8080/file/031417-183.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031417-184.jpg], и [img: http://localhost:8080/file/031417-185.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/031417-186.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031417-187.jpg] Спектром [img: http://localhost:8080/file/031417-188.jpg] функции распределения Ф наз. множество всех точек [img: http://localhost:8080/file/031417-189.jpg] таких, что [img: http://localhost:8080/file/031417-190.jpg] для произвольного открытого множества [img: http://localhost:8080/file/031417-191.jpg], содержащего х. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031417-192.jpg] - n-кратная бесконечная последовательность действительных чисел. Спрашивается, каковы необходимые и достаточные условия, к-рым должны удовлетворять числа (8) для того, чтобы существовала функция распределения [img: http://localhost:8080/file/031417-193.jpg] со спектром [img: http://localhost:8080/file/031417-194.jpg], содержащемся в наперед заданном замкнутом множестве F, являющаяся решением системы [img: http://localhost:8080/file/031417-195.jpg] (задача А для системы (9)). Аналогичным образом формулируется задача В для системы (9). Объединение задач А и В для системы (9) наз. F- проблемой моментов. F-M. п. (9) определена, если ее решение в нек-ром смысле единственно. В противном случае F-M. п. (9) наз. неопределенной. Теорема. Необходимым и достаточным условием разрешимости F-M. п. (9) в [img: http://localhost:8080/file/031417-196.jpg] является выполнение условия: [img: http://localhost:8080/file/031417-197.jpg] для любого многочлена [img: http://localhost:8080/file/031417-198.jpg] принимающего неотрицательные значения при всех [img: http://localhost:8080/file/031417-199.jpg] Эта теорема является основой получения условий разрешимости (т. е. решения задачи А) различных вариаций М. п. (9). Вот нек-рые из них. Теорема 1. Для того чтобы М. п. (6) ([img: http://localhost:8080/file/031417-200.jpg]) имела решение, необходимо, чтобы [img: http://localhost:8080/file/031417-201.jpg] Для существования решения М. п. (6) со спектром, отличным от конечного числа точек, необходимо и достаточно, чтобы [img: http://localhost:8080/file/031417-202.jpg] Для существования решения М. п. (6) со спектром, состоящим в точности из [img: http://localhost:8080/file/031417-203.jpg] различных точек, необходимо и достаточно, чтобы [img: http://localhost:8080/file/031417-204.jpg] В последнем случае М. п. (6) всегда является определенной. Теорема 2. Для того чтобы М. п. (1) [img: http://localhost:8080/file/031417-205.jpg] была разрешима, необходимо, чтобы [img: http://localhost:8080/file/031417-206.jpg] Для существования решения М. п. (1) со спектром, отличным от конечного числа точек, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства [img: http://localhost:8080/file/031417-207.jpg] Найдены также необходимые и достаточные условия существования решения М. п. (1) со спектром [img: http://localhost:8080/file/031417-208.jpg], состоящем в точности из [img: http://localhost:8080/file/031417-209.jpg] различных точек, отличных от [img: http://localhost:8080/file/031417-210.jpg]. Эти условия подобны приведенным в заключительной части теоремы 1. Теорема 3. Необходимым и достаточным условием разрешимости хаусдорфовой М. п. в R: [img: http://localhost:8080/file/031417-211.jpg] является выполнение соотношений [img: http://localhost:8080/file/031417-212.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031417-213.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031417-214.jpg] (здесь через [img: http://localhost:8080/file/031417-215.jpg] обозначена операция взятия k-й разности). Теорема 4. Необходимым и достаточным условием разрешимости хаусдорфовой М. п. в R2: [img: http://localhost:8080/file/031417-216.jpg] является выполнение соотношений [img: http://localhost:8080/file/031417-217.jpg] Теорема 5. М. п. (6) определенна, если [img: http://localhost:8080/file/031417-218.jpg] Известны (см., напр., [4]) необходимые и достаточные условия, к-рым должны удовлетворять mn для того, чтобы М. п. (6) (М. п. (1)) была определенной; однако они менее обозримы по сравнению с условием (10), носящим достаточный характер, а их формулировка несколько громоздка. М. п. в комплексной области наз. обширный класс интерполяционных задач, описываемый следующим образом. Пусть D- открытая односвязная область комплексной плоскости [img: http://localhost:8080/file/031417-219.jpg] A(D)- пространство функций, аналитических в Z), с топологией, определяемой равномерной сходимостью на произвольном компакте [img: http://localhost:8080/file/031417-220.jpg] пусть [img: http://localhost:8080/file/031417-221.jpg] - пространство всех функций [img: http://localhost:8080/file/031417-222.jpg], аналитических в окрестности [img: http://localhost:8080/file/031417-223.jpg] бесконечно удаленной точки, причем [img: http://localhost:8080/file/031417-224.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031417-225.jpg] для любой [img: http://localhost:8080/file/031417-226.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031417-227.jpg] (последняя запись эквивалентна тому, что множество особенностей функции [img: http://localhost:8080/file/031417-228.jpg] лежит в D). Топология в [img: http://localhost:8080/file/031417-229.jpg] определяется равномерной сходимостью на одной из кривых семейства простых замкнутых жордановых кривых [img: http://localhost:8080/file/031417-230.jpg], обладающего свойством: для произвольного компакта [img: http://localhost:8080/file/031417-231.jpg] существует [img: http://localhost:8080/file/031417-232.jpg] такая, что [img: http://localhost:8080/file/031417-233.jpg] (здесь через [img: http://localhost:8080/file/031417-234.jpg] обозначена открытая односвязная область с границей [img: http://localhost:8080/file/031417-235.jpg], являющаяся "внутренней" по отношению к Гa0). Известно, что пространства [img: http://localhost:8080/file/031417-236.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031417-237.jpg] - взаимно сопряженные. М. п. в комплексной области такова. Пусть заданы целое число р, р>1; функции [img: http://localhost:8080/file/031417-238.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031417-239.jpg] однолистная в Dфункция [img: http://localhost:8080/file/031417-240.jpg] и совокупность из р последовательностей комплексных, чисел [img: http://localhost:8080/file/031417-241.jpg] Спрашивается, существует ли функция [img: http://localhost:8080/file/031417-242.jpg] для к-рой имеют, место равенства [img: http://localhost:8080/file/031417-243.jpg] Вообще говоря, не для всякой заранее взятой совокупности [img: http://localhost:8080/file/031417-244.jpg] бесконечная система уравнений (11) имеет хотя бы одно решение [img: http://localhost:8080/file/031417-245.jpg]. Поэтому совокупность [img: http://localhost:8080/file/031417-246.jpg] наз. D- допустимой, если существует (хотя бы одна) [img: http://localhost:8080/file/031417-247.jpg], удовлетворяющая соотношениям (11). Задача А. Найти необходимые и достаточные условия (конструктивного характера) D-допустимости совокупности [img: http://localhost:8080/file/031417-248.jpg] 3адача В. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031417-249.jpg] D-допустима. Спрашивается, как по числам [img: http://localhost:8080/file/031417-250.jpg], находящимся в правых частях равенств (11), отыскать все множество функций [img: http://localhost:8080/file/031417-251.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031417-252.jpg], удовлетворяющих соотношениям (11)? Объединение задач А и В наз. М. п. в комплексной области. Задача В для случая, когда р=1, Ao(z)=l, впервые была рассмотрена в 1937 А. О. Гельфондом [6]; им было указано на принципиальную возможность решения задачи В (при р=1 и A0(z)=l система (11) всегда имеет единственное решение при D-допустимых правых частях ans). Исследованы многочисленные частные случаи задач А и В (см. [7] - [10]). Использование аппарата теории краевых задач позволило провести (см. [11] - [14]) достаточно полное исследование М. п. в комплексной области. Область [img: http://localhost:8080/file/031417-253.jpg] у наз. [img: http://localhost:8080/file/031417-254.jpg] -инвариантной [img: http://localhost:8080/file/031417-255.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031417-256.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/031417-257.jpg] Исчерпывающее решение М. п. в комплексной области Dпри весьма естественных предположениях относительно функций [img: http://localhost:8080/file/031417-258.jpg] дано [10] для случая [img: http://localhost:8080/file/031417-259.jpg], а также для областей, образы к-рых W(D)погружаемы в нек-рую область [img: http://localhost:8080/file/031417-260.jpg]. Привлечение теории краевых задач к решению М. п. в комплексной области позволило найти в квадратурах полное решение задачи В для областей указанных типов. В частности, при p = 1 всякая область Gпринадлежит классу [img: http://localhost:8080/file/031417-261.jpg] Также найдены необходимые и достаточные условия единственности решения системы (11) для важных в приложениях областей D, W -образы к-рых не являются погружаемыми. Здесь принципиально различны два случая: [img: http://localhost:8080/file/031417-262.jpg] (в последней из отмеченных возможностей вопрос о единственности решения системы (11) исчерпывающе исследован в предположении, что [img: http://localhost:8080/file/031417-263.jpg]). Возможны различные вариации М. п. (11), относящиеся к поведению соответствующих функций на Г. К М. п. в комплексной области с помощью преобразования Бореля и его обобщений (см. Сравнения функция)сводится ряд широко известных интерполяционных задач, напр.: [img: http://localhost:8080/file/031417-264.jpg] Кроме того, многие из теорем о целозначных функциях сводятся к весьма частным случаям задачи А.