Моногенности множество

- множество всех производных чисел данной функции комплексного переменного в данной точке. Точнее, пусть Е- множество на комплексной плоскости [img: http://localhost:8080/file/031417-380.jpg] - неизолированная его точка, f(z)- комплекснозначная функция переменного [img: http://localhost:8080/file/031417-381.jpg]. Комплексное число а(собственное или равное [img: http://localhost:8080/file/031417-382.jpg]) наз. производным числом функции [img: http://localhost:8080/file/031417-383.jpg] в точке [img: http://localhost:8080/file/031417-384.jpg] относительно множества Е, если существует последовательность zn ОE со свойствами: [img: http://localhost:8080/file/031417-385.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031417-386.jpg] Множество [img: http://localhost:8080/file/031417-387.jpg] всех производных чисел функции f в точке [img: http://localhost:8080/file/031417-388.jpg] относительно Еназ. множеством моногенности функции f в точке [img: http://localhost:8080/file/031417-389.jpg] относительно Е(см. [1]). Множество [img: http://localhost:8080/file/031417-390.jpg] состоит из единственной конечной точки атогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/031417-391.jpg] - моногенная функция в точке [img: http://localhost:8080/file/031417-392.jpg] относительно Еи [img: http://localhost:8080/file/031417-393.jpg]. Множество [img: http://localhost:8080/file/031417-394.jpg] всегда замкнуто, и для каждого замкнутого множества Арасширенной комплексной плоскости [img: http://localhost:8080/file/031417-395.jpg] каждого множества [img: http://localhost:8080/file/031417-396.jpg] и каждой конечной неизолированной точки [img: http://localhost:8080/file/031417-397.jpg] этого множества найдется такая функция [img: http://localhost:8080/file/031417-398.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/031417-399.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/031417-400.jpg] - внутренняя точка Е, то для любой непрерывной в нек-рой окрестности этой точки функции [img: http://localhost:8080/file/031417-401.jpg] множество является [img: http://localhost:8080/file/031417-402.jpg] замкнутым и связным (континуумом) на [img: http://localhost:8080/file/031417-403.jpg], и обратно, для любого континуума [img: http://localhost:8080/file/031417-404.jpg] найдется функция [img: http://localhost:8080/file/031417-405.jpg], непрерывная в нек-рой окрестности [img: http://localhost:8080/file/031417-406.jpg], для к-рой [img: http://localhost:8080/file/031417-407.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031417-408.jpg] Если функция [img: http://localhost:8080/file/031417-409.jpg] дифференцируема по совокупности действительных переменных [img: http://localhost:8080/file/031417-410.jpg] во внутренней точкемно [img: http://localhost:8080/file/031417-411.jpg] жества Е, то [img: http://localhost:8080/file/031417-412.jpg] представляет собой окружность [img: http://localhost:8080/file/031417-413.jpg] (возможно, вырожденную и точку при r=0) с центром [img: http://localhost:8080/file/031417-414.jpg] и радиусом [img: http://localhost:8080/file/031417-415.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031417-416.jpg] - т. н. формальные производные. Верно и обратное: каждая окружность является М. м. для нек-рой функции f, дифференцируемой по (х, у)в заданной внутренней точке [img: http://localhost:8080/file/031417-417.jpg] множества Е. Если f(z)непрерывна в области G, то почти в каждой точке [img: http://localhost:8080/file/031417-418.jpg] множество [img: http://localhost:8080/file/031417-419.jpg] есть либо нек-рая окружность [img: http://localhost:8080/file/031417-420.jpg] (см. [2]). В общем случае произвольного (необязательно измеримого) множества Ен произвольной (необязательно измеримой) конечной функции [img: http://localhost:8080/file/031417-421.jpg] почти в каждой точке [img: http://localhost:8080/file/031417-422.jpg] имеет место один из следующих трех случаев: [img: http://localhost:8080/file/031417-423.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031417-424.jpg] При этом почти в каждой точке дифференцируемости функции [img: http://localhost:8080/file/031417-425.jpg] по совокупности [img: http://localhost:8080/file/031417-426.jpg] выполнен случай а), почти же в каждой точке непрерывности функции f(z) - один из первых двух случаев. Каждый из случаев а) - в) в отдельности может реализоваться почти в каждой точке [img: http://localhost:8080/file/031417-427.jpg]