Мономиальное представление

конечной группы G - такое представление [img: http://localhost:8080/file/031418-69.jpg] группы Gв конечномерном векторном пространстве V, что в нек-ром базисе [img: http://localhost:8080/file/031418-70.jpg] этого пространства матрица [img: http://localhost:8080/file/031418-71.jpg] оператора [img: http://localhost:8080/file/031418-72.jpg] для любого элемента [img: http://localhost:8080/file/031418-73.jpg] имеет точно один ненулевой элемент в каждой строке и в каждом, столбце. Иногда М. п. наз. непосредственно матричное представление [img: http://localhost:8080/file/031418-74.jpg]. М. п. является частным случаем импримитивного представления (см. Импримитивная группа). А именно, набор одномерных подпространств в V, порожденных векторами [img: http://localhost:8080/file/031418-75.jpg] является системой импримитивности для [img: http://localhost:8080/file/031418-76.jpg]. Наоборот, если для нек-рого представления [img: http://localhost:8080/file/031418-77.jpg] группы Gв векторном пространстве [img: http://localhost:8080/file/031418-78.jpg] существует система импримитивности, состоящая из одномерных подпространств, то [img: http://localhost:8080/file/031418-79.jpg] - М. п. Пусть Н- какая-либо подгруппа в [img: http://localhost:8080/file/031418-80.jpg]. Примером М. п. может служить представление G, индуцированное каким-нибудь одномерным представлением подгруппы Н(см. Индуцированное представление). Такие представления наз. также индуцированными М. п. (см. [1]). Не всякое М. п. [img: http://localhost:8080/file/031418-81.jpg] является индуцированным М. п. (однако, если М. п. [img: http://localhost:8080/file/031418-82.jpg] неприводимо, то оно будет индуцированным М. п.). Данное выше определение М. п. возникло в классич. теории представлений конечных групп. Часто, однако, это определение изменяют, называя М. п. произвольное представление группы G, индуцированное одномерным представлением какой-либо подгруппы H в G. Втаком виде определение М. п. имеет смысл уже не только для конечных групп и их конечномерных представлений, но и, напр., для групп Ли и их представлений в гильбертовых пространствах (подгруппа Нпри этом предполагается замкнутой). Для достаточно широкого класса групп конструкция М. п. оказывается достаточной для описания всех унитарных неприводимых представлений. А именно, группы, все унитарные неприводимые представления к-рых мономиальны, наз. мономиальными группами, или М- группами. К их числу относятся, напр., все конечные нильпотентные группы и все связные нильпотентные группы Ли. Все конечные М-группы, а также все мономиальные группы Ли разрешимы (см. [2]).