Морса лемма

- утверждение, описывающее строение ростка дважды непрерывно дифференцируемой функции. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031418-406.jpg] - функция класса [img: http://localhost:8080/file/031418-407.jpg], имеющая точку [img: http://localhost:8080/file/031418-408.jpg] своей невырожденной критиче ской точкой. Тогда в нек-рой окрестности Uточки Осуществует такая система локальных координат (карта) [img: http://localhost:8080/file/031418-409.jpg] с центром в О, что для всех [img: http://localhost:8080/file/031418-410.jpg] имеет место равенство [img: http://localhost:8080/file/031418-411.jpg] При этом число [img: http://localhost:8080/file/031418-412.jpg] является Морса индексом критич. точки Офункции f. Справедлив также аналог М. л. для функций [img: http://localhost:8080/file/031418-413.jpg] именно: если f голоморфна в нек-рой окрестности своей невырожденной критич. точки (в другой терминологии - точки перевала, см. Перевала метод) [img: http://localhost:8080/file/031418-414.jpg], то в нек-рой окрестности Uточки Осуществует такая система локальных координат [img: http://localhost:8080/file/031418-415.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/031418-416.jpg] М. л. справедлива и для функций [img: http://localhost:8080/file/031418-417.jpg] на сепарабельном (бесконечномерном) гильбертовом пространстве Е. Пусть f дважды дифференцируема (по Фреше) в нек-рой окрестности своей невырожденной критич. точки [img: http://localhost:8080/file/031418-418.jpg]. Тогда существуют такая выпуклая окрестность нуля [img: http://localhost:8080/file/031418-419.jpg], такая окрестность нуля [img: http://localhost:8080/file/031418-420.jpg] и такой диффеоморфизм (карта) [img: http://localhost:8080/file/031418-421.jpg] что для всех [img: http://localhost:8080/file/031418-422.jpg] имеет место равенство [img: http://localhost:8080/file/031418-423.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031418-424.jpg] - непрерывный ортогональный проектор, а I - тождественный оператор. При этом размерность [img: http://localhost:8080/file/031418-425.jpg] совпадает с индексом Морса критич. точки [img: http://localhost:8080/file/031418-426.jpg] функции [img: http://localhost:8080/file/031418-427.jpg], а размерность [img: http://localhost:8080/file/031418-428.jpg] - с ее коиндексом.