Морса теория

- общее название для трех различных теорий, основывающихся на идеях М. Морса [1] и описывающих связь алгебро-топологич. свойств топологич. пространства с экстремальными свойствами функций (функционалов) на нем. М. т. является разделом вариационного исчисления в целом;однако последнее шире: напр., оно включает в себя теорию категорий в смысле Люстерннка - Шнирельмана. 1) М. т. критических точек гладких функций f на гладком многообразии М(сокращенно - М. т. 1) разбивается на две части: локальную и глобальную. К локальной части относятся понятия крптич. точки гладкой функции, гессиана функции в ее критич. точке, Морса индекса крптич. точки и т. п. Основным результатом ее является Морса лемма, описывающая строение гладкой функции в окрестности невырожденной критич. точки. Изучение гладких функций в окрестностях вырожденных точек не относится собственно к М. т. и выделяется в отдельную теорию особенностей дифференцируемых отображений. Основными утверждениями глобальной М. т. являются следующие. Пусть f - функция на гладком многообразии М. Если множество [img: http://localhost:8080/file/031418-527.jpg] не содержит критич. точек функции f и не пересекается с краем многообразия М, то [img: http://localhost:8080/file/031418-528.jpg] является гладким многообразием с краем [img: http://localhost:8080/file/031418-529.jpg]. Если множество [img: http://localhost:8080/file/031418-530.jpg] компактно, не пересекается с краем многообразия Ми не содержит критич. точек функции f, то существует такая гладкая изотопия [img: http://localhost:8080/file/031418-531.jpg] (осуществляемая сдвигом по траекториям градиента функции f), что [img: http://localhost:8080/file/031418-532.jpg] днффеоморфно отображает [img: http://localhost:8080/file/031418-533.jpg] па [img: http://localhost:8080/file/031418-534.jpg]. В частности, [img: http://localhost:8080/file/031418-535.jpg] диффеоморфно [img: http://localhost:8080/file/031418-536.jpg] и включение [img: http://localhost:8080/file/031418-537.jpg] является гомотопич. эквивалентностью. Если множество [img: http://localhost:8080/file/031418-538.jpg] компактно, не пересекается с краем многообразия Ми содержит ровно одну критич. точку [img: http://localhost:8080/file/031418-539.jpg] имеющую индекс Морса, [img: http://localhost:8080/file/031418-540.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031418-541.jpg] диффеоморфно многообразию, полученному из [img: http://localhost:8080/file/031418-542.jpg] приклеиванием ручки индекса [img: http://localhost:8080/file/031418-543.jpg]. В частности, если р- единственная точка глобального минимума функции f, то при малом [img: http://localhost:8080/file/031418-544.jpg] множество [img: http://localhost:8080/file/031418-545.jpg] диффеоморфно диску [img: http://localhost:8080/file/031418-546.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031418-547.jpg]. Отсюда следует, что если М- замкнутое гладкое многообразие, обладающее функцией с ровно двумя критич. точками (причем обе невырожденные), то Мполучается склейкой двух гладких дисков по их общей границе и потому гомеоморфно (но, вообще говоря, не диффеоморфно) сфере [img: http://localhost:8080/file/031418-548.jpg] Поскольку приклеивание ручки индекса [img: http://localhost:8080/file/031418-549.jpg] гомотопически эквивалентно приклеиванию клетки размерности [img: http://localhost:8080/file/031418-550.jpg], отсюда непосредственно вытекает следующая основная теорема М. т. 1: каждой Морса функции. f на гладком многообразии М (без края) отвечает гомотопически эквивалентное многообразию М клеточное пространство, клетки к-рого находятся в биективном соответствии с критич. точками функции f, причем размерность клетки равна индексу соответствующей критич. точки. Морса неравенства являются непосредственным следствием этой теоремы. Аналогичная теорема справедлива и для функций Морса триад [img: http://localhost:8080/file/031418-551.jpg] 2) М. т. геодезических на римановом многообразии (сокращенно - М. т. 2) описывает гомотопич. тип петель пространства [img: http://localhost:8080/file/031418-552.jpg] гладкого многообразия Мс римановой метрикой [img: http://localhost:8080/file/031418-553.jpg]. Ее цель - перенести на случай этого пространства (вернее, его подходящей модели) результаты М. т. 1. Роль функции f играет при этом определенный на пространстве [img: http://localhost:8080/file/031418-554.jpg] кусочно гладких путей [img: http://localhost:8080/file/031418-555.jpg] функционал действия Е(иногда неправильно наз. функционалом энергии [5]), значения к-рого на пути [img: http://localhost:8080/file/031418-556.jpg] определяются в локальных координатах [img: http://localhost:8080/file/031418-557.jpg] формулой [img: http://localhost:8080/file/031418-558.jpg] В первоначальном построении М. т. рассматривался функционал длины [img: http://localhost:8080/file/031418-559.jpg] но по многим технич. причинам функционал Еоказывается предпочтительнее. Вместе с тем экстремали функционала [img: http://localhost:8080/file/031418-560.jpg] (т. е. пути [img: http://localhost:8080/file/031418-561.jpg], для к-рых определенный вариацией [img: http://localhost:8080/file/031418-562.jpg] функционала Елинейный функционал [img: http://localhost:8080/file/031418-563.jpg] на пространстве [img: http://localhost:8080/file/031418-564.jpg] равен нулю) совпадают с геодезическими метрики [img: http://localhost:8080/file/031418-565.jpg] (экстремалями функционала длины L)в их натуральной параметризации. Пусть р, q- две (не обязательно различные) точки из Ми [img: http://localhost:8080/file/031418-566.jpg] - пространство кусочно гладких путей, соединяющих pc q. Для каждого [img: http://localhost:8080/file/031418-567.jpg] полагается [img: http://localhost:8080/file/031418-568.jpg] Если риманово многообразие [img: http://localhost:8080/file/031418-569.jpg] полно, то пространство [img: http://localhost:8080/file/031418-570.jpg] (внутренность множества [img: http://localhost:8080/file/031418-571.jpg]) деформационно ретрагируется на нек-рое гладкое многообразие В, точками к-рого являются "ломаные геодезические" с фиксированным числом звеньев, соединяющие рс q(так что, в частности, Всодержит все геодезические из [img: http://localhost:8080/file/031418-572.jpg]). При этом функция [img: http://localhost:8080/file/031418-573.jpg] гладкая; для любого [img: http://localhost:8080/file/031418-574.jpg] множество [img: http://localhost:8080/file/031418-575.jpg] компактно и является деформационным ретрактом множества [img: http://localhost:8080/file/031418-576.jpg] критич. точки функции [img: http://localhost:8080/file/031418-577.jpg] совпадают с экстремалями функционала [img: http://localhost:8080/file/031418-578.jpg] и представляют собой геодезические, соединяющие рс qи имеющие длину [img: http://localhost:8080/file/031418-579.jpg] индекс Морса критич. точки функции [img: http://localhost:8080/file/031418-580.jpg] равен индексу Морса соответствующей геодезической; нулевое пространство [img: http://localhost:8080/file/031418-581.jpg] функционала [img: http://localhost:8080/file/031418-582.jpg] на геодезической [img: http://localhost:8080/file/031418-583.jpg] конечномерно и изоморфно нулевому пространству гессиана функции [img: http://localhost:8080/file/031418-584.jpg] в соответствующей критич. точке; в частности, если ри q не сопряжены ни на одной соединяющей их геодезической [img: http://localhost:8080/file/031418-585.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/031418-586.jpg] - функция Морса. Применяя М. т. 1 и переходя к пределу при [img: http://localhost:8080/file/031418-587.jpg] и замечая, что пространство [img: http://localhost:8080/file/031418-588.jpg] гомотопически эквивалентно пространству [img: http://localhost:8080/file/031418-589.jpg] всех непрерывных путей, соединяющих pc q, получаем следующую основную теорему М. т. 2: пусть М- полное риманово многообразие и р, q- две его точки, не сопряженные ни на какой соединяющей их геодезической. Пространство [img: http://localhost:8080/file/031418-590.jpg] всех путей, соединяющих рс q, гомотопически эквивалентно клеточному пространству, клетки размерности [img: http://localhost:8080/file/031418-591.jpg] к-рого находятся в биективном соответствии с геодезическими индекса [img: http://localhost:8080/file/031418-592.jpg], соединяющими рс q. Так как гомотопич. тип пространства [img: http://localhost:8080/file/031419-1.jpg] не зависит от выбора точек ри q, то теорема дает, в частности, описание гомотоппч. типа пространства петель [img: http://localhost:8080/file/031419-2.jpg] Известно [10], что для нестягиваемого многообразия Мпространство [img: http://localhost:8080/file/031419-3.jpg] имеет нетривиальные группы гомологии в сколь угодно больших размерностях. В силу основной теоремы М. т. 2 отсюда следует, что несопряженные точки в полном римановом нестягиваемом многообразии соединены бесконечным числом геодезических (на примере сферы видно, что, вообще говоря, эти геодезические могут быть отрезками одной периодической геодезической). В даваемом основной теоремой описании гомотопич. типа фигурируют (хотя и неявно) поля Якоби, поэтому М. т. устанавливает связь между кривизной многообразия и его топологией. Напр., если М- полное односвязное риманово многообразие, кривизна к-рого по всем двумерным направлениям неположительна, то любое поле Якоби, обращающееся в нуль в двух точках геодезической, является тождественно нулевым. Поэтому пространство петель [img: http://localhost:8080/file/031419-4.jpg] такого многообразия имеет тип нульмерного клеточного пространства и, следовательно (ввиду односвязности М), стягиваемо. Поэтому Мтакже стягиваемо, т. е. гомотопически эквивалентно пространству [img: http://localhost:8080/file/031419-5.jpg]. Более тонкое использование соображений М. т. показывает, что Мдаже диффеоморфно пространству [img: http://localhost:8080/file/031419-6.jpg] (см. [3], [5]). Весьма эффективным оказалось применение М. т. к топологии групп Ли [3]. Напр., для любой односвязной группы Ли G пространство [img: http://localhost:8080/file/031419-7.jpg] имеет гомотопич. тип клеточного пространства без нечетномерных клеток. Апофеозом здесь является теорема Ботта о периодичности, играющая основополагающую роль в K-теории и, следовательно, во всей дифференциальной топологии. Пусть V- предел последовательности вложенных унитарных групп [img: http://localhost:8080/file/031419-8.jpg] - предел последовательности вложенных ортогональных групп [img: http://localhost:8080/file/031419-9.jpg] Теорема периодичности Ботта утверждает, что имеют место гомотопич. эквивалентности [img: http://localhost:8080/file/031419-10.jpg] есть n-кратная итерация функтора перехода к пространству петель. Эта теорема позволяет вычислить гомотопич. группы [img: http://localhost:8080/file/031419-11.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031419-12.jpg] и, следовательно, гомотопич. группы [img: http://localhost:8080/file/031419-13.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031419-14.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031419-15.jpg] М. т. 2 обобщается также на случай, когда вместо точек р, q рассматриваются гладкие подмногообразия V0, V1 многообразия М. Изучается функционал действия на пространство [img: http://localhost:8080/file/031419-16.jpg] всех кусочно гладких путей [img: http://localhost:8080/file/031419-17.jpg] трансверсальных на концах кV0 и V1, и устанавливается связь экстремалей этого функционала с гомотопич. типом пространства [img: http://localhost:8080/file/031419-18.jpg]. Соответствующая основная теорема аналогична сформулированной выше основной теореме М. т. 2; трудность состоит в геометрич. интерпретации индекса Морса геодезической. 3) Естественным развитием М. т. 2 является М. т. критич. точек гладких функций на банаховых (бесконечномерных) многообразиях - М. т. 3, представляющая собой уже не аналог, а непосредственное обобщение М. т. 1. К настоящему времени (1982) М. т. 3 находится в стадии становления и построена лишь в весьма предварительном контексте при очень сильных (и явно не необходимых) условиях на модельное банахово пространство (типа сепарабельности и гильбертовости), когда не возникает специфических функционально-аналитич. трудностей [9], хотя имеются и попытки построения М. т. 3 в довольно общей ситуации. Поэтому в современном виде М. т. 3 является почти дословным повторением М. т. 1. Единственное заслуживающее быть отмеченным отличие состоит в том, что в М. т. 3 условие компактности множеств [img: http://localhost:8080/file/031419-19.jpg] заменяется условием СПале - Смейла (см. Морса функция), к-рое, впрочем, выполняется не во всех интересных ситуациях. Кроме того, хотя для банаховых многообразий приходится приклеивать и ручки бесконечного индекса, в силу гомотопич. тривиальности бесконечномерных сфер эти ручки на гомотопич. тип не влияют. Поэтому в основной теореме М. т. 3 участвуют лишь критич. точки конечного индекса.