Морса функция

- гладкая функция, обладающая нек-рыми специальными свойствами. М. ф. возникают и используются в Морса теории. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031419-20.jpg] - гладкое гильбертово полное (относительно нек-рой римановой метрики) многообразие (напр., конечномерное), край к-рого [img: http://localhost:8080/file/031419-21.jpg] является несвязным объединением (возможно, пустых) многообразий V0 и V1. М. ф. триады [img: http://localhost:8080/file/031419-22.jpg] - такая гладкая (класса [img: http://localhost:8080/file/031419-23.jpg] по Фреше) функция [img: http://localhost:8080/file/031419-24.jpg] (или [img: http://localhost:8080/file/031419-25.jpg]) при [img: http://localhost:8080/file/031419-26.jpg], что: 1) [img: http://localhost:8080/file/031419-27.jpg] 2)все критические точки функциилежат [img: http://localhost:8080/file/031419-28.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031419-29.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031419-30.jpg] и невырождены; 3) условие СПале - Смейла (см. [2], [3]): на любом замкнутом множестве [img: http://localhost:8080/file/031419-31.jpg], где функция f ограничена, а нижняя грань функции [img: http://localhost:8080/file/031419-32.jpg] равна нулю, существует критич. точка функции f. Напр., если функция f собственная, т. е. все множества [img: http://localhost:8080/file/031419-33.jpg] компактны (что возможно только при [img: http://localhost:8080/file/031419-34.jpg]), то f удовлетворяет условию С. М. ф. достигает минимума (глобального) на каждой компоненте связности многообразия W. Если многообразие V конечномерно, то для [img: http://localhost:8080/file/031419-35.jpg] множество М. ф. класса [img: http://localhost:8080/file/031419-36.jpg] является множеством 2-й категории (а если Wкомпактно, то даже плотным открытым множеством) в пространстве всех функций [img: http://localhost:8080/file/031419-37.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031419-38.jpg] -топологии.