Мультипликативная решетка

- полная решетка [img: http://localhost:8080/file/031419-358.jpg] с дополнительной бинарной коммутативной и ассоциативной операцией, наз. умножением (и обозначаемой [img: http://localhost:8080/file/031419-359.jpg]), такой, что наибольший элемент решетки играет роль мультипликативной единицы и [img: http://localhost:8080/file/031419-360.jpg] для любых [img: http://localhost:8080/file/031419-361.jpg] и произвольного множества индексов [img: http://localhost:8080/file/031419-362.jpg]. Теория М. р. возникла как результат применения теоретико-структурных методов к изучению решеток идеалов коммутативных колец (см. [2]), и поэтому большинство понятий и результатов имеет аналоги (или приложения) в коммутативных кольцах (см. [1]). Пусть L- М. р. и а, [img: http://localhost:8080/file/031419-363.jpg], тогда [img: http://localhost:8080/file/031419-364.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031419-365.jpg] Элемент [img: http://localhost:8080/file/031419-366.jpg] наз. [img: http://localhost:8080/file/031419-367.jpg] -главным (соответственно [img: http://localhost:8080/file/031419-368.jpg] -главным), если [img: http://localhost:8080/file/031419-369.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/031419-370.jpg] для любых [img: http://localhost:8080/file/031419-371.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031419-372.jpg] -главный и [img: http://localhost:8080/file/031419-373.jpg] -главный одновременно элемент наз. главным. Нётеровой решеткой наз. модулярная и удовлетворяющая условию обрыва возрастающих цепей М. р., в к-рой каждый элемент является объединением нек-рых главных элементов. Полная решетка Мназ. модулем над мультипликативной решеткой [img: http://localhost:8080/file/031419-374.jpg], если для любых [img: http://localhost:8080/file/031419-375.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031419-376.jpg] определено произведение [img: http://localhost:8080/file/031419-377.jpg], причем [img: http://localhost:8080/file/031419-378.jpg] (здесь [img: http://localhost:8080/file/031419-379.jpg] - наибольший элемент [img: http://localhost:8080/file/031419-380.jpg] в и [img: http://localhost:8080/file/031419-381.jpg] - нули решеток Lи Мсоответственно). Наиболее изученный класс М. р.- нётеровы решетки. Здесь можно выделить следующие направления. 1) Вопросы представления нётеровой решетки как решетки идеалов подходящего нётерова кольца (известно, что решетка идеалов любого нётерова кольца - нётерова, однако существуют нётеровы решетки, к-рые не могут быть даже вложены в решетку идеалов нётерова кольца [3]). 2) Изучение нётеровых модулей над М. р. 3) Изучение понятий и свойств, к-рые переносятся на нётеровы решетки из теории идеалов нётеровых колец (понятия простого и примарного элементов, размерности, собственного максимального элемента, полулокальной и локальной решетки). Описаны [4] дистрибутивные регулярные локальные нётеровы М. р. Построена теория локализации и ассоциированных простых элементов для гораздо более широкого, чем нётеровы, класса М. р., включающего в себя решетки идеалов произвольных коммутативных колец.