Мультипликативный интеграл

- предел произведений вида [img: http://localhost:8080/file/031419-392.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031419-393.jpg] - непрерывная на отрезке [img: http://localhost:8080/file/031419-394.jpg] функция со значениями в пространстве ограниченных операторов в банаховом пространстве [img: http://localhost:8080/file/031419-395.jpg] - разбиение отрезка [img: http://localhost:8080/file/031419-396.jpg] точками [img: http://localhost:8080/file/031419-397.jpg] Предел берется, когда диаметр разбиения [img: http://localhost:8080/file/031419-398.jpg] и обозначается [img: http://localhost:8080/file/031419-399.jpg] Если операторы [img: http://localhost:8080/file/031419-400.jpg] коммутируют при различных t, то [img: http://localhost:8080/file/031419-401.jpg] М. и. является удобной формой представления эволюционного оператора [img: http://localhost:8080/file/031419-402.jpg] для дифференциального уравнения [img: http://localhost:8080/file/031419-403.jpg] (см. [1]). При этом [img: http://localhost:8080/file/031419-404.jpg] Произведение, пределом к-рого является последний М; и., также является эволюционным оператором для уравнения с кусочно постоянным оператором [img: http://localhost:8080/file/031419-405.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031419-406.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031419-407.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/031419-408.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031419-409.jpg] - две непрерывные оператор-функции, то справедлива формула [img: http://localhost:8080/file/031419-410.jpg] где знак [img: http://localhost:8080/file/031419-411.jpg] над произведением означает, что множители с меньшими номерами пишутся правее множителей с большими. Формулы (1), (2) допускают обобщения на нек-рые классы дифференциальных уравнений с неограниченными оператор-функциями, откуда получаются представления решений дифференциальных уравнений с частными производными параболического и шрёдингерова типов в виде интегралов по траекториям (континуальных интегралов) (см. [2]). Формулы типа (2) лежат также в основе нек-рых численных методов решения уравнений. Если [img: http://localhost:8080/file/031419-412.jpg] - скалярная непрерывная функция, а [img: http://localhost:8080/file/031419-413.jpg] операторнозначная непрерывная функция ограниченной вариации, то существует предел [img: http://localhost:8080/file/031419-414.jpg] наз. мультипликативным интегралом Стилтьеса. Эти интегралы нашли применение в теории J-нерастягивающих матриц и операторов (см. [3], [4]).