Мультиполя потенциал

- гармоническая функция в области [img: http://localhost:8080/file/031419-430.jpg] пространства [img: http://localhost:8080/file/031419-431.jpg] являющаяся частной производной какого-либо порядка [img: http://localhost:8080/file/031419-432.jpg] от главного фундаментального решения уравнения Лапласа, т. е. функция вида [img: http://localhost:8080/file/031419-433.jpg] Пусть для краткости [img: http://localhost:8080/file/031419-434.jpg]; при [img: http://localhost:8080/file/031419-435.jpg] потенциалы диполей имеют вид [img: http://localhost:8080/file/031419-436.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031419-437.jpg] - направляющие косинусы радиус-вектора точки наблюдения [img: http://localhost:8080/file/031419-438.jpg]. Функция [img: http://localhost:8080/file/031419-439.jpg] напр., истолковывается как потенциал диполя с моментом 1 и осью [img: http://localhost:8080/file/031419-440.jpg], то есть как предел при [img: http://localhost:8080/file/031419-441.jpg] суммы ньютоновых потенциалов массы [img: http://localhost:8080/file/031419-442.jpg], помещенной в точке [img: http://localhost:8080/file/031419-443.jpg], и массы [img: http://localhost:8080/file/031419-444.jpg], помещенной в точке [img: http://localhost:8080/file/031419-445.jpg]; иначе эту функцию можно представить себе как магнитный потенциал маленького магнита, расположенного вдоль оси [img: http://localhost:8080/file/031419-446.jpg] в начале координат. Аналогично, функции [img: http://localhost:8080/file/031419-447.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031419-448.jpg] суть потенциалы диполей с осями соответственно [img: http://localhost:8080/file/031419-449.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031419-450.jpg]. Составляя линейные комбинации этих функций, можно получить потенциал произвольно ориентированного диполя с любым моментам [img: http://localhost:8080/file/031419-451.jpg]. При [img: http://localhost:8080/file/031419-452.jpg] имеют место квадруполей потенциалы, получаемые предельным переходом для определенных систем четырех точечных масс, сумма которых всегда равна нулю, и т. д. Ньютонов потенциал [img: http://localhost:8080/file/031419-453.jpg] ограниченного тела [img: http://localhost:8080/file/031419-454.jpg] плотности [img: http://localhost:8080/file/031419-455.jpg] расположенного так, что [img: http://localhost:8080/file/031419-456.jpg] можно разложить в ряд по М. п. [img: http://localhost:8080/file/031419-457.jpg] - общая масса тела G, а коэффициенты [img: http://localhost:8080/file/031419-458.jpg] наз. при [img: http://localhost:8080/file/031419-459.jpg] дипольными моментами, при [img: http://localhost:8080/file/031419-460.jpg] - квадрупольными моментами и, вообще, при всех [img: http://localhost:8080/file/031419-461.jpg] - мультипольными моментами. Ряд (1) отличается от разложения потенциала [img: http://localhost:8080/file/031419-462.jpg] по сферич. функциям [img: http://localhost:8080/file/031419-463.jpg] перегруппировкой членов, и члены ряда (2) можно также истолковывать как потенциалы специальным образом ориентированных мультиполей (см. [1]). Поэтому коэффициенты [img: http://localhost:8080/file/031419-464.jpg] также часто наз. соответственно дипольными, квадрупольными и, вообще, мультипольными моментами. Разложения типа (1) и (2) применяются для описания н приближенного представления скалярных или векторных потенциалов не только в связи с фундаментальным решением уравнения Лапласа, но и уравнения Гельмгольца (см. [2]). В гидродинамике плоских течений идеальной несжимаемой жидкости находят также применение комплексные М. п. вида [img: http://localhost:8080/file/031419-465.jpg] где z - комплексное переменное, [img: http://localhost:8080/file/031419-466.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031419-467.jpg] - соответственно момент и угол ориентации мультиполя. Получающийся при [img: http://localhost:8080/file/031419-468.jpg] дипольный потенциал истолковывается как предел при [img: http://localhost:8080/file/031419-469.jpg] суммы комплексных потенциалов источника мощности 1 в точке [img: http://localhost:8080/file/031419-470.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031419-471.jpg] и стока мощности 1 в точке [img: http://localhost:8080/file/031419-472.jpg]. Разложению (1) здесь соответствует разложение комплексного потенциала скоростей потока, обтекающего плоское тело G, в окрестности бесконечно удаленной точки: [img: http://localhost:8080/file/031419-473.jpg] При этом действие обтекаемого тела [img: http://localhost:8080/file/031419-474.jpg] заменяется суммарным действием М. п., помещенных в начале координат (см. [3]).