Наилучшего приближения многочлен

наилучшего приближения полином,- многочлен, осуществляющий наилучшее приближение функции [img: http://localhost:8080/file/031502-53.jpg] в той или иной метрике среди всех многочленов, построенных по той же (конечной) системе функций. Если X - линейное нормированное пространство функций (напр., [img: http://localhost:8080/file/031502-54.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/031502-55.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031502-56.jpg]), [img: http://localhost:8080/file/031502-57.jpg] - система линейно независимых функций из X, то для любой [img: http://localhost:8080/file/031502-58.jpg] (обобщенный) Н. п. м. [img: http://localhost:8080/file/031502-59.jpg] определяемый соотношением [img: http://localhost:8080/file/031502-60.jpg] существует. Единственность Н. п. м. для всех [img: http://localhost:8080/file/031502-61.jpg] имеет место, во всяком случае, если X- пространство со строго выпуклой нормой (т. е. из [img: http://localhost:8080/file/031502-62.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031502-63.jpg] следует, что [img: http://localhost:8080/file/031502-64.jpg]). Таким является пространство [img: http://localhost:8080/file/031502-65.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031502-66.jpg]. В пространстве [img: http://localhost:8080/file/031502-67.jpg], норма к-рого не является строго выпуклой, Н. п. м. для любой [img: http://localhost:8080/file/031502-68.jpg] единствен, если система [img: http://localhost:8080/file/031502-69.jpg] является чебышевской на [img: http://localhost:8080/file/031502-70.jpg] т. е. каждый многочлен [img: http://localhost:8080/file/031502-71.jpg] имеет на отрезке [img: http://localhost:8080/file/031502-72.jpg] не более чем [img: http://localhost:8080/file/031502-73.jpg] нулей. В частности, единственность имеет место для алгебраич. многочленов в [img: http://localhost:8080/file/031502-74.jpg] а также для тригонометрич. полиномов в пространстве [img: http://localhost:8080/file/031502-75.jpg] непрерывных на всей оси [img: http://localhost:8080/file/031502-76.jpg] периодических функций с равномерной метрикой. Если Н. п. м. существует и единствен для любой [img: http://localhost:8080/file/031502-77.jpg] то он непрерывно зависит от х. Известны критерии, указывающие необходимые и достаточные признаки Н. п. м. в пространствах [img: http://localhost:8080/file/031502-78.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031502-79.jpg] Справедлива, напр., теорема Чебышева: если система [img: http://localhost:8080/file/031502-80.jpg] является чебышевской, то для того, чтобы многочлен (*) являлся для функции [img: http://localhost:8080/file/031502-81.jpg] Н. п. м. в метрике пространства [img: http://localhost:8080/file/031502-82.jpg] необходимо и достаточно, чтобы нашлась система из [img: http://localhost:8080/file/031502-83.jpg] точек [img: http://localhost:8080/file/031502-84.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031502-85.jpg] в к-рых разность [img: http://localhost:8080/file/031502-86.jpg] принимает значения [img: http://localhost:8080/file/031502-87.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/031502-88.jpg] Многочлен (*) является Н. п. м. для функции [img: http://localhost:8080/file/031502-89.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031502-90.jpg] в метрике этого пространства тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/031502-91.jpg] k=1, 2,..., п. В случае р=1, т. е. в пространстве L1[a, b], условия [img: http://localhost:8080/file/031502-92.jpg] достаточны, а если мера множества тех точек tиз (а, b), где [img: http://localhost:8080/file/031502-93.jpg] равна нулю, то и необходимы, чтобы [img: http://localhost:8080/file/031502-94.jpg] был Н. п. м. для [img: http://localhost:8080/file/031502-95.jpg] см. также Маркова крите рий. Существуют алгоритмы приближенного построения многочленов наилучшего равномерного приближения (см., напр., [3], [5]).