Наилучшее приближение

функции x(t)функциями u(t)из фиксированного множества F- величина [img: http://localhost:8080/file/031502-120.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031502-121.jpg] - погрешность приближения (см. Прибли жения функций мера). Можно говорить о Н. п. в произвольном метрич. пространстве X, когда [img: http://localhost:8080/file/031502-122.jpg] определяется расстоянием между элементами хи и, в этом случае Е(х, F).- расстояние от элемента хдо множества F. Если X- линейное нормированное пространство, то при фиксированном [img: http://localhost:8080/file/031502-123.jpg] Н. п. [img: http://localhost:8080/file/031502-124.jpg] можно рассматривать как заданный на Xфункционал (функционал наилучшего приближения). Функционал Н. п. непрерывен, каково бы ни было множество F. Если F- подпространство, то функционал Н. п. является полунормой, т. е. [img: http://localhost:8080/file/031502-125.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031502-126.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/031502-127.jpg] В случае, когда F- конечномерное подпространство, в Fдля любого [img: http://localhost:8080/file/031502-128.jpg] существует элемент [img: http://localhost:8080/file/031502-129.jpg] (элемент наилучшего приближения), на к-ром в (1) реализуется нижняя грань: [img: http://localhost:8080/file/031502-130.jpg] В пространстве Xсо строго выпуклой нормой элемент Н. п. единствен. С помощью теорем двойственности Н. п. в линейном нормированном пространстве Xможет быть выражено через верхнюю грань значений нек-рых функционалов из сопряженного пространства [img: http://localhost:8080/file/031502-131.jpg] (см., напр., [5], [8]). Если F- замкнутое выпуклое множество в X, то для любого [img: http://localhost:8080/file/031502-132.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031502-133.jpg] в частности, когда F- подпространство, то [img: http://localhost:8080/file/031502-134.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031502-135.jpg] - множество функционалов [img: http://localhost:8080/file/031502-136.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/031502-137.jpg] таких, что f(u)=0 для любого [img: http://localhost:8080/file/031502-138.jpg]. В функциональных пространствах Си L р правые части (2) и (3) конкретизируются с учетом формы линейного функционала. В гильбертовом пространстве НН. п. элемента [img: http://localhost:8080/file/031502-139.jpg] n -мерным подпространством [img: http://localhost:8080/file/031502-140.jpg] реализуется оператором ортогонального проектирования на [img: http://localhost:8080/file/031502-141.jpg] и может быть вычислено: [img: http://localhost:8080/file/031502-142.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031502-143.jpg] - базис [img: http://localhost:8080/file/031502-144.jpg] - определитель Грама, составленный из скалярных произведений [img: http://localhost:8080/file/031502-145.jpg] Если базис [img: http://localhost:8080/file/031502-146.jpg] ортонормирован, то [img: http://localhost:8080/file/031502-147.jpg] В пространстве С=С[ а, b]для величины наилучшего равномерного приближения функции [img: http://localhost:8080/file/031502-148.jpg], n-мерным чебышевским подпространством [img: http://localhost:8080/file/031502-149.jpg] справедлива оценка (теорема Балле Пуссена): если для нек-рой функции [img: http://localhost:8080/file/031502-150.jpg] существует n+1 точек [img: http://localhost:8080/file/031502-151.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031502-152.jpg] в к-рых разность [img: http://localhost:8080/file/031502-153.jpg] принимает значения с последовательно чередующимися знаками, то [img: http://localhost:8080/file/031502-154.jpg] О Н. п. в пространстве L1(a, b)см. Маркова критерий. В ряде важных случаев Н. п. функций конечномерным подпространством можно оценить сверху через дифференциально-разностные характеристики (напр., модуль непрерывности) приближаемой функции или ее производных. Понятие наилучшего равномерного приближения непрерывных функций многочленами ввел П. Л. Чебышев (1854), к-рый разработал теоретич. основы Н. п. и установил критерий многочлена Н. п. в метрике пространства С(см. Наилучшего приближения многочлен). Наилучшее приближение класса функций - верхняя грань Н. п. функций f(t)из заданного класса [img: http://localhost:8080/file/031502-155.jpg] фиксированным множеством функций F, т. е. величина [img: http://localhost:8080/file/031502-156.jpg] Величина [img: http://localhost:8080/file/031502-157.jpg] характеризует максимальное отклонение (относительно выбранной метрики) класса [img: http://localhost:8080/file/031502-158.jpg] от приближающего множества Fи показывает, на какую минимально возможную погрешность можно рассчитывать, приближая произвольную функцию [img: http://localhost:8080/file/031502-159.jpg] функциями из F. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031502-160.jpg] принадлежит функциональному линейному нормированному пространству [img: http://localhost:8080/file/031502-161.jpg] - линейно независимая система функций из [img: http://localhost:8080/file/031502-162.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031502-163.jpg] - подпространства, порожденные первыми п элементами этой системы. Исследование числовой последовательности [img: http://localhost:8080/file/031502-164.jpg] позволяет судить как о структурных и гладкостных характеристиках функций класса [img: http://localhost:8080/file/031502-165.jpg], так и об аппроксимативных свойствах системы Uотносительно класса [img: http://localhost:8080/file/031502-166.jpg]. Если X- банахово пространство функций и система Uзамкнута в X, т. е. [img: http://localhost:8080/file/031502-167.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031502-168.jpg] тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/031502-169.jpg] является компактным в X множеством. В ряде важных случаев, напр, когда Fn - подпространства тригонометрич. полиномов или периодич. сплайнов, а класс [img: http://localhost:8080/file/031502-170.jpg] задается ограничениями на норму или модуль непрерывности нек-рой производной [img: http://localhost:8080/file/031502-171.jpg], величины [img: http://localhost:8080/file/031502-172.jpg] точно вычислены [5]. В непериодич. случае имеются результаты, дающие точную асимптотику [img: http://localhost:8080/file/031502-173.jpg]