Наилучший линейный метод

- линейный метод приближения, обеспечивающий на заданном множестве [img: http://localhost:8080/file/031502-174.jpg] приближаемых элементов наименьшую, по сравнению с другими линейными методами, погрешность. В линейном нормированном пространстве Xлинейный метод приближения элементов [img: http://localhost:8080/file/031502-175.jpg] элементами фиксированного подпространства [img: http://localhost:8080/file/031502-176.jpg] задается линейным оператором, отображающим все пространство Xили нек-рое, содержащее [img: http://localhost:8080/file/031502-177.jpg], линейное многообразие в F. Если [img: http://localhost:8080/file/031502-178.jpg] - совокупность всех таких операторов, то Н. л. м. для множества [img: http://localhost:8080/file/031502-179.jpg] (если он существует) определяется оператором [img: http://localhost:8080/file/031502-180.jpg], для к-рого [img: http://localhost:8080/file/031502-181.jpg] Метод, определяемый оператором Аиз [img: http://localhost:8080/file/031502-182.jpg], заведомо является Н. л. м. для [img: http://localhost:8080/file/031502-183.jpg] относительно приближающего множества F, если для всех [img: http://localhost:8080/file/031502-184.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031502-185.jpg] (Е(х, F)- наилучшее приближение элемента хмножеством F)и, тем более, если для всех [img: http://localhost:8080/file/031502-186.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031502-187.jpg] Последний факт имеет место, когда X - гильбертово пространство, [img: http://localhost:8080/file/031502-188.jpg] есть n-мерное (n=1, 2,...) его подпространство, А- линейный оператор ортогонального проектирования на [img: http://localhost:8080/file/031502-189.jpg], т. е. [img: http://localhost:8080/file/031502-190.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031502-191.jpg] - ортонормированный базис в Fn. Пусть X - банахово пространство заданных на всей действительной оси функций с нормой, инвариантной относительно сдвига: [img: http://localhost:8080/file/031502-192.jpg] (этому условию удовлетворяет, напр., норма пространств [img: http://localhost:8080/file/031502-193.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031502-194.jpg] -периодических функций), [img: http://localhost:8080/file/031502-195.jpg] - подпространство тригонометрич. полиномов порядка п. Для класса [img: http://localhost:8080/file/031502-196.jpg] функций [img: http://localhost:8080/file/031502-197.jpg] из X, содержащего вместе с x(t)также и z(t+a) при любом [img: http://localhost:8080/file/031502-198.jpg] существуют Н. л. м. (относительно Т n), в частности Н. л. м. вида [img: http://localhost:8080/file/031502-199.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031502-200.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031502-201.jpg] - коэффициенты Фурье функции x(t)по тригонометрич. системе, [img: http://localhost:8080/file/031502-202.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031502-203.jpg] - нек-рые числа. На классах [img: http://localhost:8080/file/031502-204.jpg] -периодических функций [img: http://localhost:8080/file/031502-205.jpg], у к-рых производная [img: http://localhost:8080/file/031502-206.jpg] локально абсолютно непрерывна, а [img: http://localhost:8080/file/031502-207.jpg] по норме в [img: http://localhost:8080/file/031502-208.jpg] (соответственно в [img: http://localhost:8080/file/031502-209.jpg]) ограничена числом М, Н. л. м. вида (*) дает в метрике пространства С(соответственно L1)ту же погрешность (на всем классе), что и наилучшее приближение подпространством [img: http://localhost:8080/file/031502-210.jpg]; аналогичный факт имеет место для таких классов при любом дробном [img: http://localhost:8080/file/031502-211.jpg] (производная [img: http://localhost:8080/file/031502-212.jpg] понимается в смысле Вейля). При целых r=1, 2,... Н. л. м. вида (*) строится только с помощью коэффициентов [img: http://localhost:8080/file/031502-213.jpg] (все [img: http://localhost:8080/file/031502-214.jpg]). Если [img: http://localhost:8080/file/031502-215.jpg] - подпространство 2p-периодических полиномиальных сплайнов порядка rдефекта 1 по разбиению [img: http://localhost:8080/file/031502-216.jpg] то для классов (и [img: http://localhost:8080/file/031502-217.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031502-218.jpg]), [img: http://localhost:8080/file/031502-219.jpg] Н. л. м. в [img: http://localhost:8080/file/031502-220.jpg] (соответственно в L1), доставляют сплайны из [img: http://localhost:8080/file/031502-221.jpg], интерполирующие функцию [img: http://localhost:8080/file/031502-222.jpg] в точках [img: http://localhost:8080/file/031502-223.jpg]