Наилучших приближений последовательность

-числовая последовательность [img: http://localhost:8080/file/031502-224.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031502-225.jpg] - наилучшее приближение элемента хлинейного нормированного пространства Xэлементами n-мерного подпространства [img: http://localhost:8080/file/031502-226.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/031502-227.jpg] так что [img: http://localhost:8080/file/031502-228.jpg] Обычно Fn есть линейная оболочка первых пэлементов нек-рой фиксированной системы [img: http://localhost:8080/file/031502-229.jpg] линейно независимых элементов из X. В случае, когда [img: http://localhost:8080/file/031502-230.jpg] - подпространство алгебраич. многочленов степени п-1, Н. п. п. впервые рассматривалась в 50-х гг. 19 в. П. Л. Чебышевым; тот факт, что [img: http://localhost:8080/file/031502-231.jpg] для любой функции [img: http://localhost:8080/file/031502-232.jpg] установлен в 1885 К. Вейерштрассом (К. Weierstrass). В общем случае соотношение [img: http://localhost:8080/file/031502-233.jpg] выполняется всегда, когда объединение подпространств [img: http://localhost:8080/file/031502-234.jpg] всюду плотно в X, т. е. [img: http://localhost:8080/file/031502-235.jpg] (по существу это эквивалентные утверждения). Однако последовательность Е(х, Fn)может стремиться к нулю как угодно медленно. Это вытекает из теоремы Бернштейна: если [img: http://localhost:8080/file/031502-236.jpg] - последовательность подпространств размерности n=1, 2,... линейного нормированного пространства X, причем [img: http://localhost:8080/file/031502-237.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031502-238.jpg] то какова бы ни была монотонно стремящаяся к нулю числовая последовательность [img: http://localhost:8080/file/031502-239.jpg] существует элемент [img: http://localhost:8080/file/031502-240.jpg] такой, что [img: http://localhost:8080/file/031502-241.jpg] 2,.... В функциональных пространствах Си Lp скорость стремления к нулю Н. п. п. зависит как от системы подпространств Fn, так и от гладкостных характеристик приближаемой функции х(модуля непрерывности, существования производных до определенного порядка и пр.) и может быть оценена через эти характеристики. Обратно, зная скорость стремления к нулю последовательности Е{х, Fn), можно судить о гладкости функции х(t)(см. Приближение функций;прямые и обратные теоремы).