Направлений поле

- геометрическая интерпретация множества линейных элементов, соответствующих системе обыкновенных дифференциальных уравнений [img: http://localhost:8080/file/031503-59.jpg] (1) Линейным элементом наз. набор чисел [img: http://localhost:8080/file/031503-60.jpg] (2) где [img: http://localhost:8080/file/031503-61.jpg] - точка области [img: http://localhost:8080/file/031503-62.jpg], в к-рой определены правые части системы (1). Линейный элемент (2) можно представить себе как совокупность точки [img: http://localhost:8080/file/031503-63.jpg] и соответствующего ей направления с направляющими косинусами [img: http://localhost:8080/file/031503-64.jpg] к-рое изображается отрезком малой длины, проходящим через эту точку параллельно вектору [img: http://localhost:8080/file/031503-65.jpg] Для системы в симметричной форме [img: http://localhost:8080/file/031503-66.jpg] в отличие от системы (1), среди направлений поля возможны и ортогональные оси t. Любая интегральная кривая системы (1) в каждой своей точке касается, отвечающего этой точке направления поля; всякая кривая, обладающая таким свойством, является интегральной кривой системы (1). Таким образом, задание Н. п. эквивалентно заданию системы (1), а задача интегрирования системы (1) состоит в отыскании таких кривых в (n+1)-мерном пространстве Rn + 1, касательные к к-рым в каждой точке имеют направление, определяемое формулами (3), т. е. имеют направление, совпадающее с направлением поля в этой точке. Особенно наглядной геометрич. картина становится при n=1. В этом случае через каждую точку (t, х)области определения [img: http://localhost:8080/file/031503-67.jpg] правой части уравнения 1-го порядка [img: http://localhost:8080/file/031503-68.jpg] можно провести отрезок малой длины с угловым коэффициентом f(t, х), так что (ориентированный) угол между осью tи этим отрезком равен arctg f (t, х)(см. рис.). [img: http://localhost:8080/file/031503-77.jpg] Часто дифференциальное уравнение (4) рассматривается в совокупности с дифференциальным уравнением [img: http://localhost:8080/file/031503-69.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031503-70.jpg] для точек [img: http://localhost:8080/file/031503-71.jpg] в к-рых [img: http://localhost:8080/file/031503-72.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031503-73.jpg], и [img: http://localhost:8080/file/031503-74.jpg] для точек [img: http://localhost:8080/file/031503-75.jpg], в к-рых функцию [img: http://localhost:8080/file/031503-76.jpg] можно доопределить этим значением по непрерывности. Тем самым для пары уравнений (4), (5) область Gрасширяется до области Go за счет пополнения точками, в к-рых направление параллельно оси х, а интегральным кривым разрешается иметь и точки с вертикальной касательной. Если в области Gдля уравнения (4) (или в области Go для пары уравнений (4), (5)) изобразить Н. п. достаточно подробно, то по построенным отрезкам можно составить примерное качественное представление о картине поведения интегральных кривых. Это соображение лежит в основе приближенного графич. метода решения уравнения (4) - метода изоклин, в к-ром построение Н. п. осуществляется с помощью изоклин. На использовании геометрич. связи Н. п. и интегральных кривых базируется приближенный численный метод решения уравнения (4) - Эйлера метод. Для автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений более удобна и наглядна геометрич. интерпретация в виде векторного поля - поля фазовых скоростей в фазовом пространстве системы.