Неабелевы когомологии

- когомологии со значениями в неабелевой группе, пучке неабелевых групп и т. д. Наиболее известные примеры Н. к.- это когомологии групп, топологич. пространств и, более обще, топологизированных категорий в размерностях 0, 1. Единый подход к Н. к. дает следующее понятие. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031503-138.jpg] - группы, [img: http://localhost:8080/file/031503-139.jpg] - множество с отмеченной точкой е, Aff С 1-. голоморф группы [img: http://localhost:8080/file/031503-140.jpg] - группа преобразований множества [img: http://localhost:8080/file/031503-141.jpg], сохраняющих е. Тогда неабелев коцепной комплекс - это набор [img: http://localhost:8080/file/031503-142.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031503-143.jpg] - гомоморфизмы, а [img: http://localhost:8080/file/031503-144.jpg] - такое отображение, что [img: http://localhost:8080/file/031503-145.jpg] Определяются 0-мерная группа когомологии [img: http://localhost:8080/file/031503-146.jpg] и 1-мерное множество (с отмеченной точкой) когомологии [img: http://localhost:8080/file/031503-147.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031503-148.jpg] а факторизация проводится при помощи действия r группы [img: http://localhost:8080/file/031503-149.jpg] Примеры. 1) Пусть X- топологич. пространство с пучком групп [img: http://localhost:8080/file/031503-150.jpg] - его покрытие; тогда имеется комплекс Чеха [img: http://localhost:8080/file/031503-151.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031503-152.jpg] определяются так же, как в абелевом случае (см. Когомологии), [img: http://localhost:8080/file/031503-153.jpg] Когомологии [img: http://localhost:8080/file/031503-154.jpg] при переходе к пределу по покрытиям дают когомологии [img: http://localhost:8080/file/031503-155.jpg] пространства Xсо значениями в [img: http://localhost:8080/file/031503-156.jpg]. При этом. [img: http://localhost:8080/file/031503-157.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/031503-158.jpg] - пучок ростков непрерывных отображений со значениями в топопогич. группе G, то, [img: http://localhost:8080/file/031503-159.jpg] интерпретируется как множество классов изоморфных топологических главных расслоений над X со структурной группой G. В аналогичных терминах получается классификация гладких и голоморфных главных расслоений. Таким же способом определяются Н. к. топологизированной категории; по поводу их интерпретации см. Главный G-объект. 2) Пусть G - нек-рая группа и А- (не обязательно абелева) G-группа, т. е. операторная группа с группой операторов G. Пусть результат действия оператора [img: http://localhost:8080/file/031503-160.jpg] на элемент [img: http://localhost:8080/file/031503-161.jpg] обозначается [img: http://localhost:8080/file/031503-162.jpg]. Комплекс [img: http://localhost:8080/file/031503-163.jpg] определяется формулами: [img: http://localhost:8080/file/031503-164.jpg] Группа [img: http://localhost:8080/file/031503-165.jpg] совпадает с подгруппой А G неподвижных точек в Аотносительно G, а множество [img: http://localhost:8080/file/031503-166.jpg] есть множество классов эквивалентных скрещенных гомоморфизмов [img: http://localhost:8080/file/031503-167.jpg] и интерпретируется как множество классов изоморфных главных однородных пространств над А. По поводу приложений и конкретных вычислений Н. к. групп см. Галуа когомологии. Аналогично определяются Н. к. категорий и полугрупп. 3) Пусть X - гладкое многообразие, G- группа Ли, [img: http://localhost:8080/file/031503-168.jpg] - ее алгебра Ли. Неабелев комплекс д е Рама [img: http://localhost:8080/file/031503-169.jpg] определяется следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/031503-170.jpg] - группа всех гладких функций [img: http://localhost:8080/file/031503-171.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031503-172.jpg] -пространство внешних k-формна Xсо значениями в g. [img: http://localhost:8080/file/031503-173.jpg] Множество [img: http://localhost:8080/file/031503-174.jpg] есть множество классов вполне интегрируемых уравнений вида [img: http://localhost:8080/file/031503-175.jpg] относительно калибровочных преобразований. Аналог теоремы де Рама дает интерпретацию этого множества как нек-рого подмножества в множестве [img: http://localhost:8080/file/031503-176.jpg] классов сопряженных гомоморфизмов [img: http://localhost:8080/file/031503-177.jpg] В случае комплексного многообразия М и комплексной группы Ли Gопределяются также неабелевы голоморфный комплекс де Рама и комплекс Дольбо, тесно связанные с задачей классификации голоморфных расслоений [3]. Неабелевы комплексы дифференциальных форм являются также важным аппаратом в теории псевдогрупповых структур на многообразиях [7]. С каждым подкомплексом неабелева коцепного комплекса связана точная последовательность когомоло-гип. Напр., для комплекса C*(G, А)из примера 2) и его подкомплекса C*(G, В), где Весть G-инвариаитная подгруппа в А, она имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031503-178.jpg] Если В- нормальный делитель в А, то последовательность можно продолжить до члена [img: http://localhost:8080/file/031503-179.jpg] а если Влежит в центре, то - и до [img: http://localhost:8080/file/031503-180.jpg]. Эта последовательность точна в категории множеств с отмеченными точками. Кроме того, существует аппарат ("подкручивание" или "скручивание" коцепного комплекса), позволяющий описывать прообразы всех, а не только отмеченных элементов (см. [1], [6], [3]). Можно построить также спектральную последовательность, связанную с двойным неабелевым комплексом, и соответствующую краевую точную последовательность [4]. Кроме описанных выше 0-мерных и 1-мерных, существуют также 2-мерные Н. к. Классич. примером являются 2-мерные когомологии группы Gсо значениями в нек-рой группе А, к-рые определяются следующим образом. Через [img: http://localhost:8080/file/031503-181.jpg] обозначается множество всех пар [img: http://localhost:8080/file/031503-182.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031503-183.jpg] - такие отображения, что [img: http://localhost:8080/file/031503-184.jpg] здесь Int a- внутренний автоморфизм, порожденный элементом [img: http://localhost:8080/file/031503-185.jpg]. В [img: http://localhost:8080/file/031503-186.jpg] определяется отношение эквивалентности: [img: http://localhost:8080/file/031503-187.jpg], если существует такое отображение [img: http://localhost:8080/file/031503-188.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/031503-189.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031503-190.jpg] Классы этой эквивалентности и составляют множество когомологии, [img: http://localhost:8080/file/031503-191.jpg]. Они находятся во взаимно однозначном соответствии с классами эквивалентных расширений группы Апри помощи G(см. Расширение группы). Соответствие [img: http://localhost:8080/file/031503-192.jpg] дает отображение [img: http://localhost:8080/file/031503-193.jpg] множества [img: http://localhost:8080/file/031503-194.jpg] в множество всех гомоморфизмов [img: http://localhost:8080/file/031503-195.jpg] пусть [img: http://localhost:8080/file/031503-196.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/031503-197.jpg]. Если фиксировать [img: http://localhost:8080/file/031503-198.jpg], то на центре группы [img: http://localhost:8080/file/031503-199.jpg] Абудет задана структура G-модуля и тем самым определены группы когомологии [img: http://localhost:8080/file/031503-200.jpg]. Оказывается, что непустота множества [img: http://localhost:8080/file/031503-201.jpg] равносильна тривиальности нек-рого класса из [img: http://localhost:8080/file/031503-202.jpg]. Далее, при этом условии группа [img: http://localhost:8080/file/031503-203.jpg] просто транзитивно действует на множестве [img: http://localhost:8080/file/031503-204.jpg]. Это определение двумерных когомологии можно обобщить, перенеся его на топологизированные категории (см. [2], где даны также приложения этого понятия). Общая алгебраич. схема, приводящая к двумерным когомологиям, указана в [4]; так же, как и в описанном выше частном случае, их вычисление сводится к вычислению одномерных неабелевых и обычных абелевых когомологии.