Неатомическая игра

- игра, в к-рой на множестве всех игроков I задана s-алгебра подмножеств и на [img: http://localhost:8080/file/031503-221.jpg] существует такая неатомическая мера, что множества игроков [img: http://localhost:8080/file/031503-222.jpg], имеющие нулевую меру, не оказывают влияния на исход игры. Н. и. служат моделями ситуаций, в к-рых имеются большие количества очень "малых" индивидуумов, подобных потребителям в экономич. системе, и развитие теории Н. и. было тесно связано с изучением моделей, экономик с большим числом участников (см. [1]). Н. и. подчиняются общей классификации, принятой в игр теории, и основные теоретико-игровые принципы оптимальности (см. Ядро в теории игр, Шепли вектор)естественным образом на них распространяются. При этом стратегич. принципы оптимальности в Н. и. реализуются, как правило, без обычных предположений о выпуклости (см. [2]), и различные принципы оптимальности в Н. и. оказываются более тесно связанными между собой; напр., для широкого класса неатомич. моделей типа рынков множество конкурентных равновесий совпадает с с-ядром, к-рое состоит из единственного элемента, совпадающего со значением игры (аналогом вектора Шепли для Н. и., см. [1]). Разрабатываются два направления - кооперативная теория Н. и. (см. [1], [3], [4]) и теория бескоалиционных Н. и. (см. [2]). Кооперативная неатомическая и г-р а, по аналогии с обычной кооперативной игрой, задается в виде тройки [img: http://localhost:8080/file/031503-223.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031503-224.jpg] - измеримое пространство игроков, элементы [img: http://localhost:8080/file/031503-225.jpg] наз. коалициями, v- действительнозначная функция на [img: http://localhost:8080/file/031503-226.jpg], наз. характеристической функцией, а H - нек-рое подмножество множества [img: http://localhost:8080/file/031503-227.jpg] всех конечно аддитивных мер ограниченной вариации на [img: http://localhost:8080/file/031503-228.jpg] {обычно предполагается, что [img: http://localhost:8080/file/031503-229.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031503-230.jpg]). В простейшем случае vявляется функцией от неатомич. меры на [img: http://localhost:8080/file/031503-231.jpg]. Предполагается, что пространство J стандартно, а функция множества vимеет ограниченную вариацию (т. е. представима в виде разности двух монотонных функций). Описаны [1] различные подпространства пространства BV всех функций ограниченной вариации на [img: http://localhost:8080/file/031503-232.jpg], для к-рых можно построить аналог вектора Шепли (как положительный линейный оператор со значениями в FA). Понятия сбалансированной игры, игры рынка, игры без побочных платежей (см. Кооперативная игра)и "вязанные с ними результаты переносятся на кооперативные Н. и. (см. [3], [4]). Определение бескоалиционной неатомической игры аналогично определению жлассич. понятия бескоалиционной игры. Для бескоалиционных Н. и. известны аналог Нэша теоремы, а также общие результаты о существовании ситуаций равновесия без предположений о выпуклости, к-рые не имеют места для игр с конечным числом участников (см. [2]).