Неймана алгебра

- подалгебра А алгебры [img: http://localhost:8080/file/031504-215.jpg] ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве Н, самосопряженная (т. е. содержащая вместе с каждым оператором Тсопряженный к нему оператор [img: http://localhost:8080/file/031504-216.jpg]) и совпадающая со своим бикомму-тантом (т. е. содержащая те и только те операторы [img: http://localhost:8080/file/031504-217.jpg], к-рые перестановочны с каждым оператором, перестановочным со всеми операторами из А). Эти алгебры были введены Дж. Нейманом [1]. Согласно теореме Неймана самосопряженная алгебра [img: http://localhost:8080/file/031504-218.jpg] тогда и только тогда является Н. а., когда алгебра А(или ее единичный шар) замкнута в слабой, сильной, ультраслабой или ультрасильной, но не равномерной операторной топологии. Данная симметричная банахова алгебра Втогда и только тогда изометрически изоморфна нек-рой Н. а., когда Весть [img: http://localhost:8080/file/031504-219.jpg] -алгебра, изометричная нек-рому сопряженному пространству; банахово пространство Е, удовлетворяющее условию [img: http://localhost:8080/file/031504-220.jpg], определено однозначно с точностью до изоме-трич. изоморфизма и может быть отождествлено с пространством ультраслабонепрерывных линейных форм на изометрически изоморфной ВН. а., это пространство обозначается [img: http://localhost:8080/file/031504-221.jpg] и наз. преддвойственным пространством для В. Такие симметричные банаховы алгебры наз. [img: http://localhost:8080/file/031504-222.jpg] -алгебрами. Пусть АН. а. в гильбертовом пространстве Н, [img: http://localhost:8080/file/031504-223.jpg] - ее коммутант, [img: http://localhost:8080/file/031504-224.jpg] - центр алгебры, Р- проектор в. [img: http://localhost:8080/file/031504-225.jpg] - проектор в [img: http://localhost:8080/file/031504-226.jpg]. Подпространство [img: http://localhost:8080/file/031504-227.jpg] инвариантно относительно А, и семейство ограничений операторов из А на подпространство Р'Н образует Н. а. в пространстве [img: http://localhost:8080/file/031504-228.jpg]; эта алгебра обозначается [img: http://localhost:8080/file/031504-229.jpg] и наз. индуцированной, а отображение [img: http://localhost:8080/file/031504-230.jpg] наз. индукцией Ана А Р;семейство ограничений операторов вида [img: http://localhost:8080/file/031504-231.jpg] на подпространство [img: http://localhost:8080/file/031504-232.jpg] образует Н. а. А Р в пространстве [img: http://localhost:8080/file/031504-233.jpg] эта алгебра наз. редуцированной. Если [img: http://localhost:8080/file/031504-234.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031504-235.jpg] то редуцированная и индуцированная Н. а. совпадают. Изометрический изоморфизм Н. а. наз. алгебраическим; Н. а. в гильбертовом пространстве Нназ. пространственно изоморфной Н. а. Вв пространстве К, если существует унитарный оператор U, отображающий H на K и удовлетворяющий условию [img: http://localhost:8080/file/031504-236.jpg] Пересечение любого семейства Н. а. в данном гильбертовом пространстве есть Н. а.; наименьшая Н. а., содержащая данное множество М, наз. Н. а., порожденной множеством М. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031504-237.jpg] - гильбертовы пространства, [img: http://localhost:8080/file/031504-238.jpg] - их прямая сумма, [img: http://localhost:8080/file/031504-239.jpg] - Н. а. в [img: http://localhost:8080/file/031504-240.jpg], А- Н. а. в пространстве Я, порожденная такими операторами Тиз [img: http://localhost:8080/file/031504-241.jpg] что каждое подпространство [img: http://localhost:8080/file/031504-242.jpg] инвариантно относительно Ти ограничение Тна Hi принадлежит [img: http://localhost:8080/file/031504-243.jpg]; Н. а. наз. прямым произведением Н. а. [img: http://localhost:8080/file/031504-244.jpg] и обозначается [img: http://localhost:8080/file/031504-245.jpg] Для Н. а. определены также операции тензорного произведения и бесконечного тензорного произведения. Н. а. наз. фактором, если ее центр состоит из операторов, кратных единичному. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031504-246.jpg] - Н. а., [img: http://localhost:8080/file/031504-247.jpg] - множество положительных операторов из A. Весом на Аназ. аддитивное отображение [img: http://localhost:8080/file/031504-248.jpg] множества [img: http://localhost:8080/file/031504-249.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031504-250.jpg] однородное относительно умножений на положительные числа. Вес [img: http://localhost:8080/file/031504-251.jpg] наз. следом, если [img: http://localhost:8080/file/031504-252.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031504-253.jpg] и всех унитарных операторов Uиз А. След наз. конечным, если [img: http://localhost:8080/file/031504-254.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031504-255.jpg]; полуконечным, если для любого [img: http://localhost:8080/file/031504-256.jpg] величина [img: http://localhost:8080/file/031504-257.jpg] есть верхняя грань чисел вида [img: http://localhost:8080/file/031504-258.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031504-259.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031504-260.jpg] точным, если из условия [img: http://localhost:8080/file/031504-261.jpg] следует Т=0; нормальным, если для любого возрастающего семейства [img: http://localhost:8080/file/031504-262.jpg] элементов из [img: http://localhost:8080/file/031504-263.jpg] с точной верхней границей Твеличина [img: http://localhost:8080/file/031504-264.jpg] является верхней гранью чисел [img: http://localhost:8080/file/031504-265.jpg]. Н. а. Аназ. конечной, если на Асуществует семейство нормальных конечных следов, разделяющее точки А;собственно бесконечной, если на Ане существует ненулевых конечных следов; полуконечной, если на Асуществует точный нормальный полуконечный след, и чисто бесконечной, или алгеброй типа III, если на А не существует ненулевых нормальных полуконечных следов. Н. а. наз. дискретной, или алгеброй типа I, если она алгебраически изоморфна Н. а., коммутант к-рой коммутативен; такая алгебра полуконечна. Н. а. наз. непрерывной, если для любого ненулевого центрального проектора РН. а. [img: http://localhost:8080/file/031504-266.jpg] не является дискретной. Непрерывная полуконечная алгебра наз. алгеброй типа II. Конечная алгебра типа II наз. Н. а. типа [img: http://localhost:8080/file/031504-267.jpg]; собственно бесконечная алгебра типа II наз. Н. а. типа [img: http://localhost:8080/file/031504-268.jpg]. Принадлежность Н. а. к определенному типу равносильна принадлежности ее коммутанта тому же типу, но коммутант конечной Н. а. не обязательно является конечной Н. а. Пусть А- Н. а., [img: http://localhost:8080/file/031504-269.jpg] - проекторы в А, Р и Qназ. эквивалентными, [img: http://localhost:8080/file/031504-270.jpg] если существует такой [img: http://localhost:8080/file/031504-271.jpg] элемент [img: http://localhost:8080/file/031504-272.jpg] что Пусть [img: http://localhost:8080/file/031504-273.jpg] если существует такой проектор [img: http://localhost:8080/file/031504-274.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/031504-275.jpg] отношение [img: http://localhost:8080/file/031504-276.jpg] есть отношение частичного порядка. Классификация Н. а. по типам I и т. д. может быть проведена в терминах этого отношения, в частности: проектор [img: http://localhost:8080/file/031504-277.jpg] наз. конечным, если из условий [img: http://localhost:8080/file/031504-278.jpg] следует, что [img: http://localhost:8080/file/031504-279.jpg] Н. а. конечна тогда и только тогда, когда единичный проектор конечен, и полуконечна, если и только если точная верхняя граница семейства конечных проекторов есть единичный проектор. Н. а. Аполуконечна тогда и только тогда, когда она может быть реализована как левая Н. а. нек-рой совершенной гильбертовой алгебры;элементами соответствующей гильбертовой алгебры являются такие элементы [img: http://localhost:8080/file/031504-280.jpg] - точный нормальный полуконечный след на А. Для алгебр типа III соответствующая реализация может быть получена с помощью обобщенных гильбертовых алгебр и весов на Н. а. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031504-281.jpg] - фиксированное гильбертово пространство размерности [img: http://localhost:8080/file/031504-282.jpg] - борелевское пространство, [img: http://localhost:8080/file/031504-283.jpg] - положительная мера на [img: http://localhost:8080/file/031504-284.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031504-285.jpg] - разбиение [img: http://localhost:8080/file/031504-286.jpg] на непересекающиеся измеримые подмножества, [img: http://localhost:8080/file/031504-287.jpg] - гильбертово. пространство суммируемых с квадратом [img: http://localhost:8080/file/031504-288.jpg] -измеримых отображений пространства [img: http://localhost:8080/file/031504-289.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031504-290.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031504-291.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/031504-292.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031504-293.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/031504-294.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031504-295.jpg] пусть [img: http://localhost:8080/file/031504-296.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031504-297.jpg] отображение [img: http://localhost:8080/file/031504-298.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031504-299.jpg] - непрерывный линейный оператор в гильбертовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/031504-300.jpg], наз. измеримым полем операторов, если для любого [img: http://localhost:8080/file/031504-301.jpg] функция [img: http://localhost:8080/file/031504-302.jpg] измерима на каждом множестве [img: http://localhost:8080/file/031504-303.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/031504-304.jpg] - измеримое поле операторов и функция [img: http://localhost:8080/file/031504-305.jpg] существенно ограничена на Z, то для любого [img: http://localhost:8080/file/031504-306.jpg] существует единственный вектор [img: http://localhost:8080/file/031504-307.jpg] такой, что [img: http://localhost:8080/file/031504-308.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031504-309.jpg] -почти всюду. Отображение [img: http://localhost:8080/file/031504-310.jpg] определенное формулой [img: http://localhost:8080/file/031504-311.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031504-312.jpg] является ограниченным линейным оператором в H, и [img: http://localhost:8080/file/031504-313.jpg] Такой оператор Тв Н наз. разложимым. Пусть для любого [img: http://localhost:8080/file/031504-314.jpg] определена Н. а. [img: http://localhost:8080/file/031504-315.jpg] в пространстве [img: http://localhost:8080/file/031504-316.jpg]; отображение [img: http://localhost:8080/file/031504-317.jpg] наз. измеримым полем Н. а., если существует такая последовательность [img: http://localhost:8080/file/031504-318.jpg] измеримых операторных полей, что при любом [img: http://localhost:8080/file/031504-319.jpg] Н. а. [img: http://localhost:8080/file/031504-320.jpg] порождается операторами [img: http://localhost:8080/file/031504-321.jpg]. Множество всех таких разложимых операторов T в H, что [img: http://localhost:8080/file/031504-322.jpg] при каждом [img: http://localhost:8080/file/031504-323.jpg] есть Н. а. в H, обозначаемая [img: http://localhost:8080/file/031504-324.jpg] она наз. прямым интегралом Н. а. [img: http://localhost:8080/file/031504-325.jpg] по мере [img: http://localhost:8080/file/031504-326.jpg]. Любая Н. а. в сепарабельном гильбертовом пространстве изоморфна нек-рому прямому интегралу факторов. Произвольная Н. а. может быть подвергнута алгебраич. разложению, в связи с чем теория факторов и представляет интерес для общей теории Н. а. Н. а. естественно возникают в задачах, связанных с операторами в гильбертовом пространстве, и имеют многочисленные приложения как в самой теории операторов и теории представлений групп и алгебр, так и в теории динамич. систем, статистич. физике и квантовой теории поля.