Неймана метод доверительных интервалов

- один из методов доверительного оценивания, позволяющий получать интервальные оценки для неизвестных параметров вероятностных законов по результатам наблюдений. Предложен и развит Ю. Нейманом (см. [1], [2]). Суть метода заключается в следующем. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031504-327.jpg] - случайные величины, совместная функция распределения к-рых [img: http://localhost:8080/file/031504-328.jpg] зависит от параметра [img: http://localhost:8080/file/031504-329.jpg] Далее, пусть в качестве точечной оценки параметра [img: http://localhost:8080/file/031504-330.jpg] используется статистика [img: http://localhost:8080/file/031504-331.jpg] функция распределения к-рой есть [img: http://localhost:8080/file/031504-332.jpg] Тогда для любого числа Риз интервала [img: http://localhost:8080/file/031504-333.jpg] можно определить систему из двух уравнений относительно переменной [img: http://localhost:8080/file/031504-334.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/031504-335.jpg] При определенных условиях регулярности функции [img: http://localhost:8080/file/031504-336.jpg] к-рые выполняются почти во всех интересных для практики случаях, система [img: http://localhost:8080/file/031504-337.jpg] имеет единственное решение [img: http://localhost:8080/file/031504-338.jpg] такое, что [img: http://localhost:8080/file/031504-339.jpg] Множество [img: http://localhost:8080/file/031504-340.jpg] наз. доверительным интервалом (доверительной оценкой) для неизвестного параметра [img: http://localhost:8080/file/031504-341.jpg] с доверительной вероятностью [img: http://localhost:8080/file/031504-342.jpg]. Статистики [img: http://localhost:8080/file/031504-343.jpg] наз. нижним и верхним доверительными пределами, отвечающими выбранному коэффициенту доверия Р. В свою очередь, число [img: http://localhost:8080/file/031504-344.jpg] наз. коэффициентом доверия доверительного интервала [img: http://localhost:8080/file/031504-345.jpg]. Таким образом, Н. м. д. и. приводит к интервальным оценкам, коэффициент доверия к-рых [img: http://localhost:8080/file/031504-346.jpg] Пример 1. Пусть независимые случайные величины [img: http://localhost:8080/file/031504-347.jpg] подчиняются одному и тому же нормальному закону [img: http://localhost:8080/file/031504-348.jpg] математич. ожидание к-рого [img: http://localhost:8080/file/031504-349.jpg] неизвестно. В этом случае наилучшей оценкой для [img: http://localhost:8080/file/031504-350.jpg] является достаточная статистика [img: http://localhost:8080/file/031504-351.jpg] к-рая распределена по нормальному закону [img: http://localhost:8080/file/031504-352.jpg]. Фиксируя Риз интервала [img: http://localhost:8080/file/031504-353.jpg] и решая уравнения [img: http://localhost:8080/file/031504-354.jpg] находят нижний и верхний доверительные пределы [img: http://localhost:8080/file/031504-355.jpg] отвечающие выбранному коэффициенту доверия Р. Так как [img: http://localhost:8080/file/031504-356.jpg] то доверительный интервал для неизвестного математич. ожидания G нормального закона [img: http://localhost:8080/file/031504-357.jpg] имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031504-358.jpg] причем коэффициент доверия его в точности равен 2P-1. Пример 2. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031504-359.jpg] - случайная величина, подчиняющаяся биномиальному закону с параметрами nи [img: http://localhost:8080/file/031504-360.jpg], т. е. для любого целого [img: http://localhost:8080/file/031504-361.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031504-362.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031504-363.jpg] - неполная бета-функция [img: http://localhost:8080/file/031504-364.jpg]. Если параметр "успеха" [img: http://localhost:8080/file/031504-365.jpg] неизвестен, то для определения доверительных пределов нужно согласно Н. м. д. и. решить уравнения [img: http://localhost:8080/file/031504-366.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031504-367.jpg]. По таблицам математич. статистики определяют корни [img: http://localhost:8080/file/031504-368.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031504-369.jpg] этих уравнений, являющиеся соответственно верхним и нижним доверительными пределами с коэффициентом доверия Р. Полученный таким образом доверительный интервал [img: http://localhost:8080/file/031504-370.jpg] имеет коэффициент, в точности равный [img: http://localhost:8080/file/031504-371.jpg]. Очевидно, что если в эксперименте получают [img: http://localhost:8080/file/031504-372.jpg] то в этом случае [img: http://localhost:8080/file/031504-373.jpg] если же [img: http://localhost:8080/file/031504-374.jpg] Н. м. д. и. существенно отличается от бейесовского метода и метода, основанного на фидуциальном подходе Фишера. В Н. м. д. и. неизвестный параметр [img: http://localhost:8080/file/031504-375.jpg] функции распределения [img: http://localhost:8080/file/031504-376.jpg] трактуется как постоянная величина, а сам доверительный интервал [img: http://localhost:8080/file/031504-377.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031504-378.jpg] строится до эксперимента, в ходе к-рого вычисляется значение статистики Т. Следовательно, согласно Н. м. д. и. вероятность одновременного выполнения неравенств [img: http://localhost:8080/file/031504-379.jpg] есть априорная вероятность того, что доверительный интервал [img: http://localhost:8080/file/031504-380.jpg] "накрывает" неизвестное истинное значение параметра [img: http://localhost:8080/file/031504-381.jpg]. Очевидно, что на самом деле доверительный метод Неймана остается в силе, если [img: http://localhost:8080/file/031504-382.jpg] является случайной величиной, так как в Н. м. д. и. интервальная оценка строится до проведения эксперимента и, следовательно, не зависит от априорного распределения параметра. Н. м. д. и. выгодно отличается от бейесовского и фидуциального подходов своей независимостью от априорной информации о параметре [img: http://localhost:8080/file/031504-383.jpg], и при этом, в отличие от метода Фишера, логически безупречен. В общем случае Н. м. д. и. приводит к целой системе доверительных интервалов для неизвестного параметра, в связи с чем возникает задача построения оптимальной интервальной оценки, обладающей, напр., свойствами несмещенности, селективности или подобия, к-рая находит свое решение в рамках теории проверки статистич. гипотез.