Неймана ряд

- ряд вида [img: http://localhost:8080/file/031504-384.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031504-385.jpg] - Бесселя функции (цилиндрич. функции 1-го рода), [img: http://localhost:8080/file/031504-386.jpg] - нек-рое число (действительное или комплексное). К. Нейман [1] рассмотрел частный случай, когда [img: http://localhost:8080/file/031504-387.jpg] - целое число. Он показал, что если [img: http://localhost:8080/file/031504-388.jpg] - аналитич. ция в замкнутом круге с центром в начале координат, [img: http://localhost:8080/file/031504-389.jpg] - внутренняя точка круга, С - граница круга, то имеет место равенство [img: http://localhost:8080/file/031504-390.jpg] О п- многочлен степени [img: http://localhost:8080/file/031504-391.jpg] относительно [img: http://localhost:8080/file/031504-392.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/031504-393.jpg] он обычно наз. многочленом Неймана n-го порядка (сам К. Нейман эту функцию называл бесселевой функцией 2-го порядка, ныне этим термином пользуются для обозначения одного из решений уравнения Бесселя). Примеры представления функций с помощью Н. р.: [img: http://localhost:8080/file/031504-394.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031504-395.jpg] - любое не целое отрицательное число, Г - гамма-функция. В теории интегральных уравнений Фредгольма [img: http://localhost:8080/file/031504-396.jpg] рядом Неймана наз. разложение резольвенты [img: http://localhost:8080/file/031504-397.jpg] ядра К: [img: http://localhost:8080/file/031504-398.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031504-399.jpg] - итерированные ядра (ядра К), определяемые рекуррентными формулами [img: http://localhost:8080/file/031504-400.jpg] С помощью формулы (2) решение уравнения (1) при малых [img: http://localhost:8080/file/031504-401.jpg] представляется равенством [img: http://localhost:8080/file/031504-402.jpg] Последний ряд также наз. рядом Неймана. Ряд (3) был рассмотрен К. Нейманом [2] в случае уравнения (1), к к-рому сводится задача Дирихле в теории потенциала. Пусть А- ограниченный линейный оператор, отображающий банахово пространство Xв себя, и пусть норма [img: http://localhost:8080/file/031504-403.jpg]. Тогда оператор I-А, где I - тождественный оператор, имеет единственный обратный ограниченный линейный оператор (I-A)-1 допускающий разложение [img: http://localhost:8080/file/031504-404.jpg] к-рое в теории линейных операторов наз. рядом Неймана. Ряд (3) можно рассматривать как частный случай ряда (4).