Неймана теорема

эргодическая: для изометрич. оператора [img: http://localhost:8080/file/031504-450.jpg] в гильбертовом пространстве Ни любого [img: http://localhost:8080/file/031504-451.jpg] существует предел [img: http://localhost:8080/file/031504-452.jpg] (понимаемый в смысле сходимости по норме в H). Для непрерывной однопараметрич. группы унитарных преобразований [img: http://localhost:8080/file/031505-1.jpg] в Ни любогосуществует [img: http://localhost:8080/file/031505-2.jpg] предел [img: http://localhost:8080/file/031505-3.jpg] (понимаемый в том же смысле). При этом [img: http://localhost:8080/file/031505-4.jpg] есть ортогональная проекция hна пространство инвариантных -относительно U(или [img: http://localhost:8080/file/031505-5.jpg]) элементов H. Н. т. сформулирована и доказана Дж. Нейманом [1], имевшим в виду в первую очередь ее применения в эргодич. теории, когда в пространстве с мерой [img: http://localhost:8080/file/031505-6.jpg] задан эндоморфизм Т(или измеримый поток [img: http://localhost:8080/file/031505-7.jpg]), [img: http://localhost:8080/file/031505-8.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031505-9.jpg] есть оператор сдвига: [img: http://localhost:8080/file/031505-10.jpg] В этом случае Н. т. означает, что временные средние функции [img: http://localhost:8080/file/031505-11.jpg], т. е. средние значения [img: http://localhost:8080/file/031505-12.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/031505-13.jpg] на отрезке времени ' [img: http://localhost:8080/file/031505-14.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/031505-15.jpg], при удлинении этого отрезка сходятся к [img: http://localhost:8080/file/031505-16.jpg] в среднем квадратичном по х(что часто подчеркивается термином mean ergodic theorem). В частности, при достаточной длине интервала осреднения временное среднее функции h(х)для большинства хблизко к [img: http://localhost:8080/file/031505-17.jpg]. Поэтому Н. т. (и ее обобщения) часто (в особенности применительно к данному случаю) наз. статистической эргод и ческой теоремой, в отличие от индивидуальной эргод и ческой теоремы, т. е. Виркгофа эргодической теоремы (и ее обобщений). Из последней (и - при [img: http://localhost:8080/file/031505-18.jpg] - из используемых при ее доказательстве рассуждений) в данном случае можно вывести Н. т. Однако в общем случае, когда Нне реализовано как [img: http://localhost:8080/file/031505-19.jpg] и оператор [img: http://localhost:8080/file/031505-20.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/031505-21.jpg] не связан с какими-то преобразованиями в X, Н. т. не следует из теоремы Биркгофа. Первоначальное доказательство Н. т. опиралось на спектральное разложение унитарных операторов. Позднее появился ряд других доказательств (простейшее из них принадлежит Ф. Риссу, F. Riesz, см. [2]) и обобщений для более широких классов групп и полугрупп операторов в банаховых пространствах {см. [3], [4]). Н. т. и ее обобщения принадлежат к числу операторных эргодических теорем.