Неклассическая теория моделей

- теория моделей, отличающаяся от классической тем, что либо формальный язык, с к-рым она имеет дело, отличен от языка первого порядка [img: http://localhost:8080/file/031505-45.jpg] либо логика, лежащая в ее основе, отлична от классической (двузначной). В дальнейшем, если не оговорено противное, логика считается двузначной. В теории моделей языка Lнаиболее важными являются следующие проблемы. а) Аксиоматизируемость множества тождественно истинных формул. Если существует эффективная нумерация формул языка Lнатуральными числами, то проблема уточняется: будет ли множество номеров тождественно истинных формул рекурсивно перечислимым? б) Язык Lназ. [img: http://localhost:8080/file/031505-46.jpg] -компактным, если для любого множества [img: http://localhost:8080/file/031505-47.jpg] высказываний языка Lмощности [img: http://localhost:8080/file/031505-48.jpg] из выполнимости каждого подмножества [img: http://localhost:8080/file/031505-49.jpg] мощности [img: http://localhost:8080/file/031505-50.jpg] следует выполнимость [img: http://localhost:8080/file/031505-51.jpg]. Проблема компактности состоит в описании пар кардиналов [img: http://localhost:8080/file/031505-52.jpg] для к-рых Lявляется [img: http://localhost:8080/file/031505-53.jpg] -компактным. в) Если формулы языка Lобразуют множество (несобственный класс), то существует такой кардинал а, что всякое множество высказываний языка L, имеющее модель мощности [img: http://localhost:8080/file/031505-54.jpg] имеет модели сколь угодно больших мощностей. Наименьший такой кардинал наз. числом Ханфа языка L. Для [img: http://localhost:8080/file/031505-55.jpg] оно равно счетной мощности [img: http://localhost:8080/file/031505-56.jpg]. Проблема заключается в вычислении числа Ханфа для Lи в установлении условий существования моделей малых мощностей. Ниже перечислены наиболее изученные неклассич. языки и для каждого из них отмечены нек-рые решения проблем а) - в). 1) Язык [img: http://localhost:8080/file/031505-57.jpg] логики второй ступени. Он получается из [img: http://localhost:8080/file/031505-58.jpg] добавлением переменных для предикатов и разрешением навешивания на них кванторов. Высказывание Ф языка [img: http://localhost:8080/file/031505-59.jpg] наз. истинным в системе [img: http://localhost:8080/file/031505-60.jpg] (где А- модель сигнатуры Ф, а [img: http://localhost:8080/file/031505-61.jpg] - множества га-местных предикатов на А), если Ф истинно в Апри ограничении кванторов по n-местным предикатам множествами [img: http://localhost:8080/file/031505-62.jpg] Если при этом [img: http://localhost:8080/file/031505-63.jpg] совпадают с множествами всех n-местных предикатов на А, то говорят, что Ф истинно в модели А. Существует высказывание языка [img: http://localhost:8080/file/031505-64.jpg] характеризующее арифметику натуральных чисел с точностью до изоморфизма. Из Гёделя теоремы о неполноте арифметики следует, что множество высказываний языка [img: http://localhost:8080/file/031505-65.jpg] истинных во всех моделях, не аксиоматизируемо, вднако существует естественное обобщение [img: http://localhost:8080/file/031505-66.jpg] аксиоматики исчисления предикатов первой ступени, для к-рого справедлива теорема Хенкина о полноте: из [img: http://localhost:8080/file/031505-67.jpg] выводимы те и только те высказывания языка [img: http://localhost:8080/file/031505-68.jpg], к-рие истинны во всех системах [img: http://localhost:8080/file/031505-69.jpg] удовлетворяющих аксиомам [img: http://localhost:8080/file/031505-70.jpg] В этом случае имеется аналог теоремы Лёвенхейма - Сколема для [img: http://localhost:8080/file/031505-71.jpg] если высказывание Ф языка [img: http://localhost:8080/file/031505-72.jpg] истинно вместе с аксиомами [img: http://localhost:8080/file/031505-73.jpg] в нек-рой системе, то Ф и [img: http://localhost:8080/file/031505-74.jpg] истинны в системе [img: http://localhost:8080/file/031505-75.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031505-76.jpg] не более чем счетные. Нек-рые вопросы теории моделей языка [img: http://localhost:8080/file/031505-77.jpg] связаны с проблемами теории множеств и неразрешимы в аксиоматике теории множеств Цермело - Френкеля. 2) Язык [img: http://localhost:8080/file/031505-78.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/031505-79.jpg] - кардиналы). Формулы этого языка строятся из формул языка 1-го порядка с помощью конъюнкций и дизъюнкций множеств формул мощности [img: http://localhost:8080/file/031505-80.jpg], отрицания и кванторной приставки по предметным переменным длины [img: http://localhost:8080/file/031505-81.jpg]. Истинность формулы в модели определяется, аналогично языку 1-го порядка, индукцией по построению формулы. Кардинал [img: http://localhost:8080/file/031505-82.jpg] наз. компактным, если для любого кардинала [img: http://localhost:8080/file/031505-83.jpg] язык [img: http://localhost:8080/file/031505-84.jpg] является-компактным. [img: http://localhost:8080/file/031505-85.jpg] Среди языков [img: http://localhost:8080/file/031505-86.jpg] после [img: http://localhost:8080/file/031505-87.jpg] наиболее изучен [img: http://localhost:8080/file/031505-88.jpg] Всякую счетную модель счетной сигнатуры можно охарактеризовать высказыванием языка [img: http://localhost:8080/file/031505-89.jpg] с точностью до изоморфизма. Язык [img: http://localhost:8080/file/031505-90.jpg] для любого [img: http://localhost:8080/file/031505-91.jpg] является [img: http://localhost:8080/file/031505-92.jpg] компактным. Число Ханфа для [img: http://localhost:8080/file/031505-93.jpg] равно [img: http://localhost:8080/file/031505-94.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031505-95.jpg] определяется индукцией по ординалу [img: http://localhost:8080/file/031505-96.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031505-97.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031505-98.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/031505-99.jpg] - предельный ординал. 3)Язык [img: http://localhost:8080/file/031505-100.jpg] с квантором "существует по крайней мере [img: http://localhost:8080/file/031505-101.jpg] ". Язык [img: http://localhost:8080/file/031505-102.jpg] получается из [img: http://localhost:8080/file/031505-103.jpg] добавлением нового квантора [img: http://localhost:8080/file/031505-104.jpg]. Истинность формулы определяется индукцией по длине формулы. При этом формула [img: http://localhost:8080/file/031505-105.jpg] истинна в модели А, если мощность множества [img: http://localhost:8080/file/031505-106.jpg] не меньше [img: http://localhost:8080/file/031505-107.jpg]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031505-108.jpg] обозначает множество формул языка [img: http://localhost:8080/file/031505-109.jpg], истинных во всех моделях мощности [img: http://localhost:8080/file/031505-110.jpg] Множество [img: http://localhost:8080/file/031505-111.jpg] не аксиоматизируемо, [img: http://localhost:8080/file/031505-112.jpg] аксиоматизируемо. Язык [img: http://localhost:8080/file/031505-113.jpg] не [img: http://localhost:8080/file/031505-114.jpg] -компактен. Однако нек-рая компактность имеет место в языках, [img: http://localhost:8080/file/031505-115.jpg]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031505-116.jpg] означает, что из [img: http://localhost:8080/file/031505-117.jpg] следует [img: http://localhost:8080/file/031505-118.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031505-119.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/031505-120.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031505-121.jpg] будет [img: http://localhost:8080/file/031505-122.jpg] -компактным. Число Ханфа для [img: http://localhost:8080/file/031505-123.jpg] равно [img: http://localhost:8080/file/031505-124.jpg]. До сих пор рассматривались модели, в к-рых любое высказывание языка Lсигнатуры а было либо истинным, либо ложным. Рассмотрим теперь модель Асигнатуры [img: http://localhost:8080/file/031505-125.jpg], в к-рой n -местные предикаты понимаются не как подмножества [img: http://localhost:8080/file/031505-126.jpg], а как отображения [img: http://localhost:8080/file/031505-127.jpg] в множество X. Если на X определены операции, соответствующие логич. связкам языка Lи кванторам (понимаемым как бесконечноместные операции), то можно определить значение истинности [img: http://localhost:8080/file/031505-128.jpg] любого высказывания Ф языка Lв модели А. Таким образом, получается теория моделей с множеством значений истинности X. Наиболее плодотворной оказывается теория, когда X- компактное хаусдорфово топологич. пространство или полная булева алгебра. В этих случаях работают многие методы классич. теории моделей. В случае, когда X- полная булева алгебра, конъюнкция, дизъюнкция и отрицание определяются как пересечение, объединение и дополнение соответственно. Значение [img: http://localhost:8080/file/031505-129.jpg] определяется как пересечение всех элементов вида [img: http://localhost:8080/file/031505-130.jpg]. Булево-значные модели нашли широкое применение в доказательствах совместности различных предложений теории множеств с основными аксиомами аксиоматич. теории множеств.