Нелинейное интегральное уравнение

- интегральное уравнение, содержащее неизвестную функцию нелинейно. Ниже приведены основные классы Н. и. у., к-рые часто встречаются при исследовании различных прикладных задач и теория к-рых в определенной постановке достаточно хорошо разработана. Важным примером Н. и. у. является Урысона уравнение [img: http://localhost:8080/file/031505-516.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031505-517.jpg] - замкнутое ограниченное множество конечномерного евклидова пространства, [img: http://localhost:8080/file/031505-518.jpg] - заданная функция, наз. ядром, определенная при [img: http://localhost:8080/file/031505-519.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031505-520.jpg] - числовой параметр, [img: http://localhost:8080/file/031505-521.jpg] - искомая функция. П. С. Урысон (см. [2]) при определенных предположениях дал полное исследование спектра собственных значений уравнения (1), допускающих положительные собственные функции. Было показано, что положительные собственные функции [img: http://localhost:8080/file/031505-522.jpg] соответствуют значениям [img: http://localhost:8080/file/031505-523.jpg] только из нек-рого интервала [img: http://localhost:8080/file/031505-524.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/031505-525.jpg] является монотонно возрастающей функцией [img: http://localhost:8080/file/031505-526.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031505-527.jpg] Частным случаем уравнения Урысона является Гаммерштейна уравнение: [img: http://localhost:8080/file/031505-528.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031505-529.jpg] - известные функции. Теоремы существования и единственности впервые были установлены А. Гаммерштейном (см. [9]). Он исследовал уравнение (2) в предположении, что действительная функция [img: http://localhost:8080/file/031505-530.jpg] непрерывна по совокупности аргументов и что самосопряженный в [img: http://localhost:8080/file/031505-531.jpg] линейный интегральный оператор, порожденный ядром К, является положительным и действует вполне непрерывно из [img: http://localhost:8080/file/031505-532.jpg] в пространство непрерывных функций. Другим примером Н. и. у. является Ляпунова- Шмидта уравнение: [img: http://localhost:8080/file/031505-533.jpg] в к-рых функции [img: http://localhost:8080/file/031505-534.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031505-535.jpg] - заданные, [img: http://localhost:8080/file/031505-536.jpg] - искомая, число iфиксировано, и суммирование распространено на всевозможные векторы [img: http://localhost:8080/file/031505-537.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031505-538.jpg] с неотрицательными целочисленными компонентами. Левая часть равенства (3) наз. интегро-степенным рядом от двух функциональных аргументов [img: http://localhost:8080/file/031505-539.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031505-540.jpg] Уравнение типа (3) впервые рассмотрел А. М. Ляпунов (см. [1]), а позднее, в более общем виде, Э. Шмидт (см. [8]). В их исследованиях были заложены основы теории ветвления Н. и. у., целью к-рой является решение следующей задачи. Пусть ищется решение нелинейной задачи, зависящее от некоторых параметров, причем для некоторых их значений решение может разветвляться. Возникают вопросы о нахождении самого решения и тех значений параметров, при которых оно разветвляется, о числе ветвей и о представлении каждой ветви как функции параметров (см. [6]). Теория Н. и. у. является частью общей теории нелинейных операторных уравнений. Именно, интегральные уравнения рассматриваются как конкретные иллюстрации соответствующих операторных уравнений. Для этого требуется выяснение общих свойств (непрерывность, полная непрерывность и т. д.) конкретных интегральных операторов, входящих в уравнение (см. [3] - [7]).