Неограниченный оператор

- отображение Амножества Мтопологического векторного пространства Xв топологическое векторное пространство Y такое, что существует ограниченное множество [img: http://localhost:8080/file/031506-338.jpg], образ к-рого [img: http://localhost:8080/file/031506-339.jpg] есть неограниченное множество в Y. Простейшим примером Н. о. является оператор дифференцирования [img: http://localhost:8080/file/031506-340.jpg], определенный на множестве [img: http://localhost:8080/file/031506-341.jpg] всех непрерывно дифференцируемых функций пространства [img: http://localhost:8080/file/031506-342.jpg] всех функций, непрерывных на [img: http://localhost:8080/file/031506-343.jpg], так как оператор [img: http://localhost:8080/file/031506-344.jpg] переводит ограниченное множество [img: http://localhost:8080/file/031506-345.jpg] в неограниченное множество [img: http://localhost:8080/file/031506-346.jpg]. Н. о. Анеобходимо разрывен в нек-рых (а если Алинеен, то и во всех) точках своей области определения. Поэтому важным классом Н. о. являются замкнутые операторы, обладающие свойством, в нек-рой степени заменяющим свойство непрерывности. Пусть Аи В- Н. о. с областями определения DA и [img: http://localhost:8080/file/031506-347.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/031506-348.jpg], то на этом пересечении определен оператор [img: http://localhost:8080/file/031506-349.jpg] (или [img: http://localhost:8080/file/031506-350.jpg]), и аналогично, если [img: http://localhost:8080/file/031506-351.jpg], то определен оператор [img: http://localhost:8080/file/031506-352.jpg]. В частности, таким образом определяются степени [img: http://localhost:8080/file/031506-353.jpg] Н. о. А. Оператор Вназ. расширением оператора А, [img: http://localhost:8080/file/031506-354.jpg], если и [img: http://localhost:8080/file/031506-355.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/031506-356.jpg]. [img: http://localhost:8080/file/031506-357.jpg] Так, [img: http://localhost:8080/file/031506-358.jpg]. Перестановочность двух операторов обычно рассматривается для того случая, когда один из операторов ограничен: Н. о. Аперестановочен с ограниченным оператором В, если [img: http://localhost:8080/file/031506-359.jpg]. Для линейных Н. о. определяется понятие сопряженного оператора. Пусть Н. о. А, заданный на множестве DA, плотном в топологическом векторном пространстве X, действует в топологическое векторное пространство Y. Если [img: http://localhost:8080/file/031506-360.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031506-361.jpg] - пространства, сильно сопряженные соответственно с Xи Y, и [img: http://localhost:8080/file/031506-362.jpg] - совокупность линейных функционалов [img: http://localhost:8080/file/031506-363.jpg], для к-рых существует линейный функционал [img: http://localhost:8080/file/031506-364.jpg] такой, что [img: http://localhost:8080/file/031506-365.jpg] при всех [img: http://localhost:8080/file/031506-366.jpg], то соответствие [img: http://localhost:8080/file/031506-367.jpg] определяет на [img: http://localhost:8080/file/031506-368.jpg] (к-рое, впрочем, может состоять лить из нулевого элемента) пространства [img: http://localhost:8080/file/031506-369.jpg] оператор [img: http://localhost:8080/file/031506-370.jpg], наз. оператором, сопряженным с А.