Непрерывный оператор

- непрерывное отображение Амножества Мтопологического и, как правило, векторного пространства Xв такое же пространство [img: http://localhost:8080/file/031508-125.jpg], а именно: 1) отображение [img: http://localhost:8080/file/031508-126.jpg] непрерывно в точке [img: http://localhost:8080/file/031508-127.jpg], если для любой окрестности [img: http://localhost:8080/file/031508-128.jpg] точки [img: http://localhost:8080/file/031508-129.jpg] найдется окрестность [img: http://localhost:8080/file/031508-130.jpg] точки х 0 такая, что [img: http://localhost:8080/file/031508-131.jpg]; 2) отображение [img: http://localhost:8080/file/031508-132.jpg] непрерывно на множестве М, если оно непрерывно в каждой точке этого множества. Для того чтобы оператор [img: http://localhost:8080/file/031508-133.jpg] был непрерывен на М, необходимо и достаточно, чтобы для любого открытого (замкнутого) множества [img: http://localhost:8080/file/031508-134.jpg] полный прообраз [img: http://localhost:8080/file/031508-135.jpg] был следом на Моткрытого (замкнутого) множества в X, т. е. [img: http://localhost:8080/file/031508-136.jpg] где Gоткрыто (замкнуто) в X. Для Н. о. справедливо цепное правило: пусть [img: http://localhost:8080/file/031508-137.jpg] и Анепрерывно на М(в точке [img: http://localhost:8080/file/031508-138.jpg]), а [img: http://localhost:8080/file/031508-139.jpg] и Внепрерывно на N(в точке [img: http://localhost:8080/file/031508-140.jpg]); если [img: http://localhost:8080/file/031508-141.jpg] непусто (у о=Ах о), то [img: http://localhost:8080/file/031508-142.jpg] непрерывно на Q(в точке х а). В случае, когда Xи Y - топологические векторные пространства, и А- линейный Н. о. на линейном подмногообразии [img: http://localhost:8080/file/031508-143.jpg] со значениями в Y, то из непрерывности Ав любой точке L, напр, в нуле, следует непрерывность Ана всем L. Непрерывный на многообразии Lтопологического векторного пространства Xоператор ограничен на этом множестве, т. е. образ любого ограниченного подмножества [img: http://localhost:8080/file/031508-144.jpg] есть ограниченное множество в Y. Если X и Y отделимы, то из компактности N следует компактность [img: http://localhost:8080/file/031508-145.jpg] Оператор Аравномерно непрерывен на М, если для любой окрестности нуля [img: http://localhost:8080/file/031508-146.jpg] существует окрестность нуля [img: http://localhost:8080/file/031508-147.jpg] такая, что из [img: http://localhost:8080/file/031508-148.jpg] следует [img: http://localhost:8080/file/031508-149.jpg]. Оператор линейный и непрерывный на линейном многообразии топологического векторного пространства автоматически равномерно непрерывен на этом многообразии. Помимо непрерывности вводится понятие счетной непрерывности оператора. Оператор [img: http://localhost:8080/file/031508-150.jpg] счетно непрерывен в точке [img: http://localhost:8080/file/031508-151.jpg], если для любой последовательности [img: http://localhost:8080/file/031508-152.jpg] имеет место [img: http://localhost:8080/file/031508-153.jpg] Для случая метризуемых пространств понятия счетной непрерывности и непрерывности совпадают.