Неравенство

- отношение, связывающее два числа [img: http://localhost:8080/file/031508-265.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031508-266.jpg] посредством одного из знаков: [img: http://localhost:8080/file/031508-267.jpg] (меньше), [img: http://localhost:8080/file/031508-268.jpg] (меньше или равно), [img: http://localhost:8080/file/031508-269.jpg] (больше), [img: http://localhost:8080/file/031508-270.jpg] (больше или равно), [img: http://localhost:8080/file/031508-271.jpg] (неравно), то есть [img: http://localhost:8080/file/031508-272.jpg] Иногда несколько Н. записываются вместе, напр. [img: http://localhost:8080/file/031508-273.jpg] Н. обладают многими свойствами, общими с равенствами. Так, Н. остается справедливым, если к обеим частям его прибавить (или от обеих частей отнять) одно и то же число. Точно так же можно умножить обе части Н. на одно и то же положительное число. Однако если обе части Н. умножить на отрицательное число, то смысл Н. изменится на противоположный (т. е. знак [img: http://localhost:8080/file/031508-274.jpg] заменяется на [img: http://localhost:8080/file/031508-275.jpg], а [img: http://localhost:8080/file/031508-276.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/031508-277.jpg]). Из неравенств [img: http://localhost:8080/file/031508-278.jpg] следует [img: http://localhost:8080/file/031508-279.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031508-280.jpg], т. е. одноименные Н. ([img: http://localhost:8080/file/031508-281.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031508-282.jpg]) можно почленно складывать, а разноименные Н. ([img: http://localhost:8080/file/031508-283.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031508-284.jpg]) - почленно вычитать. Если числа [img: http://localhost:8080/file/031508-285.jpg] положительны, то из неравенств [img: http://localhost:8080/file/031508-286.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031508-287.jpg] следует также [img: http://localhost:8080/file/031508-288.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031508-289.jpg], т. е. одноименные Н. (между положительными числами) можно почленно перемножать, а разноименные - почленно делить. Н., в к-рые входят величины, принимающие различные числовые значения, могут быть верны для одних значений этих величин и неверны для других. Так, неравенство [img: http://localhost:8080/file/031508-290.jpg] верно при [img: http://localhost:8080/file/031508-291.jpg] и неверно при x=2. Для Н. этого типа возникает вопрос об их решении, т. е. об определении границ, в к-рых следует брать входящие в Н. величины для того, чтобы Н. были справедливы. Так, переписывая неравенство [img: http://localhost:8080/file/031508-292.jpg] в виде: [img: http://localhost:8080/file/031508-293.jpg] замечают, что оно будет верно для всех х, удовлетворяющих одному из следующих неравенств: [img: http://localhost:8080/file/031508-294.jpg] к-рые и являются решением данного Н. Ниже приводятся нек-рые Н., выполняющиеся тождественно в той или иной области изменения входящих в них переменных. 1) Неравенство для модулей. Для любых действительных или комплексных чисел [img: http://localhost:8080/file/031508-295.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031508-296.jpg] справедливо Н. [img: http://localhost:8080/file/031508-297.jpg]. 2) Неравенство для средних. Наиболее известны Н., связывающие гармоническое, геометрическое, арифметическое и квадратичное средние: [img: http://localhost:8080/file/031508-298.jpg] здесь все числа [img: http://localhost:8080/file/031508-299.jpg] - положительны. 3) Неравенства для сумм и их интегральные аналоги. Таковы, напр., Вуняковского неравенство, Гёльдера неравенство, Гильберта неравенство, Коши неравенство. 4) Неравенства для степеней чисел. Наиболее известно здесь Минковского неравенство и его обобщения на случай рядов и интегралов. 5) Неравенства для некоторых классов последовательностей и функций. Примерами могут служить Чебышева неравенство для монотонных последовательностей и Иенсена неравенство для выпуклых функций. 6) Неравенство для определителей. Напр., неравенство Ада мара - см. Адамара теорема об определителях. 7) Линейные неравенства. Рассматривается система Н. вида [img: http://localhost:8080/file/031508-300.jpg] Совокупность решений этой системы Н. представляет собой нек-рый выпуклый многогранник в n-мерном пространстве ([img: http://localhost:8080/file/031508-301.jpg]); задача теории линейных неравенств состоит в том, чтобы изучить свойства этого многогранника. Н. имеют существенное значение для всех разделов математики. В теории чисел целый раздел этой дисциплины - диофантовы приближения- полностью основан на Н.; аналитич. теория чисел тоже часто оперирует с Н. (см., напр., Виноградова оценки). В геометрии Н. постоянно встречаются в теории выпуклых тел и в изопериметрич. задаче (см. Изопериметрическое неравенство, Изопериметрическое неравенство классическое). В теории вероятностей многие законы формулируются с помощью Н. (см., напр., Чебышева неравенство и его обобщение Колмогорова неравенство). В теории дифференциальных уравнений используются т. н. дифференциальные неравенства. В теории функций постоянно употребляются различные Н. для производных от многочленов и тригонометрич. полиномов (см., напр., Вернштейна неравенство, Джексона неравенство);о Н., связанных с вложением классов дифференцируемых функций, см. Колмогорова неравенство, Вложения теоремы. В функциональном анализе при определении нормы в функциональном пространстве требуется, чтобы она удовлетворяла Н. треугольника [img: http://localhost:8080/file/031508-302.jpg]. Многие классич. Н. в сущности определяют значения нормы линейного функционала или линейного оператора в том или ином пространстве или дают оценки для них (см., напр., Бесселя неравенство, Минковского неравенство). В вычислительной математике Н. применяются для оценки погрешности приближенного решения задачи.