Никольского пространство

- банахово пространство [img: http://localhost:8080/file/031510-252.jpg], состоящее из функций, определенных на открытом множестве [img: http://localhost:8080/file/031510-253.jpg] n-мерного евклидова пространства [img: http://localhost:8080/file/031510-254.jpg] и обладающих определенными разностно-дифференциальными свойствами, характеризующимися вектором [img: http://localhost:8080/file/031510-255.jpg] в метрике [img: http://localhost:8080/file/031510-256.jpg] Введены С. М. Никольским. Н. п. [img: http://localhost:8080/file/031510-257.jpg] можно описать в терминах свойств разностей от частных производных порядка [img: http://localhost:8080/file/031510-258.jpg] по переменной [img: http://localhost:8080/file/031510-259.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031510-260.jpg] - целое, [img: http://localhost:8080/file/031510-261.jpg] если через [img: http://localhost:8080/file/031510-262.jpg] обозначить разность порядка [img: http://localhost:8080/file/031510-263.jpg] с шагом [img: http://localhost:8080/file/031510-264.jpg] по переменной xi функции f, то [img: http://localhost:8080/file/031510-265.jpg] тогда и только тогда, когда функция f имеет в W обобщенные частные производные [img: http://localhost:8080/file/031510-266.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031510-267.jpg] и при [img: http://localhost:8080/file/031510-268.jpg] имеет место неравенство [img: http://localhost:8080/file/031510-269.jpg] а при [img: http://localhost:8080/file/031510-270.jpg] - неравенство [img: http://localhost:8080/file/031510-271.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031510-272.jpg] - множество точек [img: http://localhost:8080/file/031510-273.jpg] удаленных от границы множества [img: http://localhost:8080/file/031510-274.jpg] больше чем на [img: http://localhost:8080/file/031510-275.jpg] - произвольно. Пространство [img: http://localhost:8080/file/031510-276.jpg] определяется как объединениевсех [img: http://localhost:8080/file/031510-278.jpg] при всевозможных [img: http://localhost:8080/file/031510-277.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/031510-279.jpg], то при любых [img: http://localhost:8080/file/031510-280.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031510-281.jpg] Н. п. [img: http://localhost:8080/file/031510-282.jpg] не пусто и в нем существуют функции, не принадлежащие Н. п. [img: http://localhost:8080/file/031510-283.jpg] ни при каком [img: http://localhost:8080/file/031510-284.jpg] и ни при каком i=l, 2,..., п. В случае [img: http://localhost:8080/file/031510-285.jpg], не целых ri и непрерывности рассматриваемых производных Н. п. является гёльдеровым пространством. Понятие Н. п. обобщается на случай функций, определенных на достаточно гладких многообразиях (см. [2]). Имеется описание Н. п. [img: http://localhost:8080/file/031510-286.jpg] в терминах свойств разностей от частных производных, меньших чем [img: http://localhost:8080/file/031510-287.jpg] порядков, в частности в терминах свойств разностей достаточно высокого порядка от самой функции. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031510-288.jpg] - изотропное пространство, т. е. r1=... = rn=r. Если область [img: http://localhost:8080/file/031510-289.jpg] такова, что любую функцию f класса [img: http://localhost:8080/file/031510-290.jpg] можно продолжить с сохранением класса на все пространство [img: http://localhost:8080/file/031510-291.jpg], т. е. так, что продолженная функция будет принадлежать классу [img: http://localhost:8080/file/031510-292.jpg] (это всегда имеет место, если граница области достаточно гладкая), то для того, чтобы [img: http://localhost:8080/file/031510-293.jpg], необходимо и достаточно, чтобы для любых целых неотрицательных к ч s таких, что [img: http://localhost:8080/file/031510-294.jpg] у функции f существовали все частные производные [img: http://localhost:8080/file/031510-295.jpg] порядка s и существовала постоянная [img: http://localhost:8080/file/031510-296.jpg] для к-рой выполнялись неравенства [img: http://localhost:8080/file/031510-297.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031510-298.jpg] - разность k- гопорядка с векторным шагом hот функции [img: http://localhost:8080/file/031510-299.jpg]. Условие (1) эквивалентно аналогичному условию для модуля непрерывности производной [img: http://localhost:8080/file/031510-300.jpg]: существует такое M>0, что [img: http://localhost:8080/file/031510-301.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031510-302.jpg] Если для функции [img: http://localhost:8080/file/031510-303.jpg] через Mf обозначить нижнюю грань всех M, для к-рых выполняется условие (1) для всех [img: http://localhost:8080/file/031510-304.jpg] и всех частных производных допустимого порядка.s, то [img: http://localhost:8080/file/031510-305.jpg] является нормой в Н. п. [img: http://localhost:8080/file/031510-306.jpg], причем нормы, получающиеся при различных допустимых парах k, s, эквивалентны между собой. Н. п., состоящее из функций, определенных на всем пространстве [img: http://localhost:8080/file/031510-307.jpg], можно охарактеризовать в терминах наилучших приближений функций из этого пространства с помощью целых функций экспоненциального типа. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031510-308.jpg] - наилучшее приближение в метрике Lp(Rn)функций [img: http://localhost:8080/file/031510-309.jpg] при помощи целых функций [img: http://localhost:8080/file/031510-310.jpg] экспоненциального типа степеней [img: http://localhost:8080/file/031510-311.jpg] соответственно по переменным [img: http://localhost:8080/file/031510-312.jpg]. Для Н. п. справедливы следующие прямая и обратная теоремы типа теорем Бернштейна, Джексона, Зигмунда. Если функция [img: http://localhost:8080/file/031510-313.jpg] то для любых [img: http://localhost:8080/file/031510-314.jpg] выполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/031510-315.jpg] (постоянная с>0 не зависит от функции f). Наоборот, если для функции [img: http://localhost:8080/file/031510-316.jpg] выполняется неравенство (2) для [img: http://localhost:8080/file/031510-317.jpg] 2,..., п, и qявляется целой функцией степени единица по каждой из переменных [img: http://localhost:8080/file/031510-318.jpg] для к-рой [img: http://localhost:8080/file/031510-319.jpg] (она существует в силу (2) при k=0), то [img: http://localhost:8080/file/031510-320.jpg] причем постоянные с>0 в (2) и с i>0 в (3) не зависят от M i, i=l, 2,..., п. В случае периодической по всем переменным функций f аналогичное описание Н. п. делается посредством наилучших приближений функций через тригонометрия, полиномы вместо целых функций экспоненциального типа (см. 11], [4]). Н. п. могут быть описаны с помощью оператора Бесселя - Макдональда, применяемого к нек-рому классу обобщенных функций (см. Вложения теоремы). Для пространств [img: http://localhost:8080/file/031510-321.jpg] С. М. Никольским доказаны транзитивные теоремы вложения для разных размерностей и метрик (см. [3] и Вложения теоремы), перенесенные в дальнейшем на более общие классы функций. Эти теоремы показывают, что Н. п. образуют замкнутую систему относительно граничных значений входящих в них функций: следы функций из Н. п. на гладких многообразиях в определенном смысле полностью описываются в терминах Н. п. Свойства Н. п. дали возможность получить необходимые и достаточные условия разрешимости Дирихле задачи в соответствующих Н. п. в терминах принадлежности граничной функции также к нек-рому Н. п.: для того чтобы гармонич. функция ипринадлежала классу [img: http://localhost:8080/file/031510-322.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031510-323.jpg] - ограниченная область в [img: http://localhost:8080/file/031510-324.jpg] с достаточно гладкой границей [img: http://localhost:8080/file/031510-325.jpg] необходимо и достаточно, чтобы граничные значения [img: http://localhost:8080/file/031510-326.jpg] принадлежали к классу [img: http://localhost:8080/file/031510-327.jpg]. Отсюда при [img: http://localhost:8080/file/031510-328.jpg] следует, в частности, что если [img: http://localhost:8080/file/031510-329.jpg] то Дирихле интеграл [img: http://localhost:8080/file/031510-330.jpg] от функции ино области [img: http://localhost:8080/file/031510-331.jpg] конечен и потому задачу Дирихле можно решить прямым вариационным методом. Из теорем вложения для Н. п. следует, что если для функции иее интеграл Дирихле по области [img: http://localhost:8080/file/031510-332.jpg] конечен, то [img: http://localhost:8080/file/031510-333.jpg] (см. [6]). Обобщением Н. п. является пространство Бесова [img: http://localhost:8080/file/031510-334.jpg]