Нильпотентный элемент

нильпотент,- элемент акольца или полугруппы с нулем А, удовлетворяющий равенству [img: http://localhost:8080/file/031510-375.jpg] для нек-рого натурального п. Минимальное значение п, для к-рого справедливо это равенство, наз. индексом нильпотентности элемента а. Напр., в кольце вычетов по модулю [img: http://localhost:8080/file/031510-376.jpg], где р- нек-рое простое число, класс вычетов числа р- нильпотент индекса п, матрица [img: http://localhost:8080/file/031510-377.jpg] является нильпотентом индекса 2 в кольце [img: http://localhost:8080/file/031510-378.jpg] -матриц с коэффициентами в нек-ром поле К, в групповой алгебре [img: http://localhost:8080/file/031510-379.jpg] - поле из рэлементов, a G - циклич. группа порядка рс образующей а, элемент [img: http://localhost:8080/file/031510-380.jpg] является нильпотентом индекса р. Если а- Н. э. индекса п, то справедливо равенство [img: http://localhost:8080/file/031510-381.jpg] т. е. элемент [img: http://localhost:8080/file/031510-382.jpg] обратим в кольце Аи обратный к нему элемент записывается в виде многочлена от а. В коммутативном кольце Аэлемент анильпотентен тогда и только тогда, когда он содержится во всех простых идеалах кольца. Все Н. э. образуют идеал J, наз. нильрадикалом кольца и совпадающий с пересечением всех простых идеалов кольца А. Кольцо [img: http://localhost:8080/file/031510-383.jpg] уже не имеет Н. э., отличных от нуля. При интерпретации коммутативного кольца Акак кольца функций на пространстве [img: http://localhost:8080/file/031510-384.jpg] (спектре.4) нильпотентам соответствуют функции, тождественно равные нулю. Тем не менее рассмотрение нильпотентов часто оказывается полезным в алгебраич. геометрии, т. к. они позволяют получить чисто алгебраич. аналог ряда понятий, типичных для анализа и дифференциальной геометрии (бесконечно малые деформации и т. п.).