Ниль потентный идеал

- односторонний или двусторонний идеал Мкольца или полугруппы с нулем Атакой, что для нек-рого натурального пвыполняется [img: http://localhost:8080/file/031510-365.jpg], т. е. произведение любых пэлементов идеала Мравно нулю. Напр., в кольце [img: http://localhost:8080/file/031510-366.jpg] вычетов по модулю [img: http://localhost:8080/file/031510-367.jpg], где р- нек-рое простое число, все идеалы, отличные от самого кольца, нильпотентны. В групповом кольце [img: http://localhost:8080/file/031510-368.jpg] конечной р-группы Gнад полем из рэлементов идеал, порожденный элементами вида [img: http://localhost:8080/file/031510-369.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031510-370.jpg], нильнотентен. В кольце верхних треугольных матриц пад пек-рым полем матрицы, у к-рых на главной диагонали стоят нули, образуют Н. и. Любой элемент Н. п. нильпотентен. Любой Н. и. является одновременно нильидеалом и содержится в радикале Джекобсона кольца. В артиновых кольцах радикал Джекобсона нильпотентен, и понятия Н. и. и нильидеала совпадают. Последнее свойство справедливо и для нётеровых колец. В нётеровом слева кольце любой левый (правый) нильидеал нильпотентен. Все Н. и. коммутативного кольца содержатся в нильрадикале, к-рый в общем случае может быть не нильпотентным, а лишь нильидеалом. Простой пример такой ситуации доставляет прямая сумма колец [img: http://localhost:8080/file/031510-371.jpg] по всем натуральным п. В коммутативном кольце любой нильпотентный элемент а содержится в нек-ром Н. п., напр, в главном идеале, порожденном а. В некоммутативном кольце могут существовать нильпотентные элементы, к-рые не содержатся ни в одном Н. п. (и даже нильидеале). Напр., в полном кольце матриц над полем имеются нильпотентные элементы, в частности нильпотентны упоминавшиеся выше матрицы, у к-рых ненулевые элементы стоят только над главной диагональю, но это кольцо просто и, следовательно, не имеет ненулевых Н. и. В конечномерной алгебре Ли Gсуществует максимальный Н. и., состоящий из элементов [img: http://localhost:8080/file/031510-372.jpg] для к-рых эндоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031510-373.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/031510-374.jpg] нильпотентен.