Нормальное расширение

поля - алгебраическое расширение Lполя К, удовлетворяющее одному из следующих эквивалентных условий: 1) любое вложение поля Lв алгебраич. замыкание [img: http://localhost:8080/file/031512-27.jpg] поля Кявляется автоморфизмом поля L; 2) L- поле разложения нек-рого семейства многочленов с коэффициентами из K; 3) любой неприводимый над Kмногочлен f(x)с коэффициентами из K, имеющий корень в L, распадается в Lна линейные множители. Для любого алгебраич. расширения F/K существует максимальное промежуточное подноле L, нормальное над K, причем [img: http://localhost:8080/file/031512-28.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031512-29.jpg] - всевозможные вложения поля Fв [img: http://localhost:8080/file/031512-30.jpg]. Существует также однозначно определенное минимальное Н. р. поля K, содержащее F. Это поле является композитом всех полей [img: http://localhost:8080/file/031512-31.jpg]. Оно наз. нормальным замыканием поля Fотносительно K. Если [img: http://localhost:8080/file/031512-32.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031512-33.jpg] - нормальные расширения поля K, то пересечение [img: http://localhost:8080/file/031512-34.jpg] и композит [img: http://localhost:8080/file/031512-35.jpg] снова нормальны над K. Однако даже если расширения [img: http://localhost:8080/file/031512-36.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031512-37.jpg] нормальны, расширение [img: http://localhost:8080/file/031512-38.jpg] может и не быть нормальным. Для полей характеристики 0 любое нормальное расширение является расширением Галуа. В общем случае Н. р. является расширением Галуа тогда и только тогда, когда оно сепарабельно.