Нормальное число

- действительное число [img: http://localhost:8080/file/031512-107.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031512-108.jpg] обладающее следующим свойством: для каждого натурального s любая заданная s-членная скобка [img: http://localhost:8080/file/031512-109.jpg] состоящая из знаков [img: http://localhost:8080/file/031512-110.jpg] g-1, появляется в последовательности [img: http://localhost:8080/file/031512-111.jpg] получающейся при разложении числа [img: http://localhost:8080/file/031512-112.jpg] в бесконечную g-ичиую дробь [img: http://localhost:8080/file/031512-113.jpg] с асимптотич. частотой [img: http://localhost:8080/file/031512-114.jpg]. Подробнее, пусть g>l - натуральное число и [img: http://localhost:8080/file/031512-115.jpg] - бесконечная последовательность s-членных скобок, соответствующая последовательности (1). Через [img: http://localhost:8080/file/031512-116.jpg] обозначается число появлений скобки [img: http://localhost:8080/file/031512-117.jpg] среди первых пскобок последовательности (2). Число [img: http://localhost:8080/file/031512-118.jpg] наз. нормальным, если для любого натурального s и любой заданной s-членной скобки [img: http://localhost:8080/file/031512-119.jpg], состоящей из знаков [img: http://localhost:8080/file/031512-120.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031512-121.jpg] Понятие Н. ч. для n=10 было введено Э. Борелем (см. [1], [2] с. 197). Э. Борель называл действительное число [img: http://localhost:8080/file/031512-122.jpg] слабо нормальным к основанию g, если [img: http://localhost:8080/file/031512-123.jpg] где. [img: http://localhost:8080/file/031512-124.jpg] - число появлений знака [img: http://localhost:8080/file/031512-125.jpg] среди первых пчленов последовательности [img: http://localhost:8080/file/031512-126.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031512-127.jpg] и называл [img: http://localhost:8080/file/031512-128.jpg] нормальным, если числа [img: http://localhost:8080/file/031512-129.jpg] слабо нормальны к основаниям [img: http://localhost:8080/file/031512-130.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031512-131.jpg] Он установил также, что для Н. ч. [img: http://localhost:8080/file/031512-132.jpg] при любом s и любой заданной s-членной скобке [img: http://localhost:8080/file/031512-133.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031512-134.jpg] Позднее было показано (см. [3], [4], а также [8]), что выполнимость последнего соотношения эквивалентна борелевскому определению Н. ч. Число [img: http://localhost:8080/file/031512-135.jpg] наз. абсолютно нормальным, если оно нормально по отношению ко всякому натуральному основанию [img: http://localhost:8080/file/031512-136.jpg]. Существование нормальных и абсолютно Н. ч. было установлено Э. Борелем на основе теории меры. Построение Н. ч. в явном виде впервые было осуществлено в [5]. Ранее (см. [6], [7]) был указан эффективный процесс построения абсолютно Н. ч. О других способах построения Н. ч. и о связи понятия Н. ч. с понятием случайности см. [8]. Равномерное распределение дробных долей [img: http://localhost:8080/file/031512-137.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031512-138.jpg] на отрезке [0, 1] эквивалентно тому, что [img: http://localhost:8080/file/031512-139.jpg] - нормальное число.