Нормально разрешимый оператор

- линейный оператор с замкнутой областью значений. Пусть А- линейный оператор с плотной в банаховом пространстве Xобластью определения и с областью значений R(А)в банаховом пространстве Y. Тогда А- Н. р. о., если [img: http://localhost:8080/file/031511-365.jpg] т. е. если R(A)является замкнутым подпространством в Y. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031511-366.jpg] - оператор, сопряженный к А. Для того чтобы Абыл Н. р. о., необходимо и достаточно, чтобы [img: http://localhost:8080/file/031511-367.jpg] т. е. чтобы область значений Аявлялась ортогональным дополнением к подпространству нулей оператора [img: http://localhost:8080/file/031511-368.jpg] Пусть дано уравнение с Н. р. о. [img: http://localhost:8080/file/031511-369.jpg] (нормально разрешимое уравнение). Если [img: http://localhost:8080/file/031511-370.jpg] т. е. однородное сопряженное уравнение [img: http://localhost:8080/file/031511-371.jpg] имеет только тривиальное решение, то R(A)=Y. Если же [img: http://localhost:8080/file/031511-372.jpg] то для разрешимости (*) необходимо и достаточно, чтобы [img: http://localhost:8080/file/031511-373.jpg] для всех решений уравнения [img: http://localhost:8080/file/031511-374.jpg] Пусть ниже А- замкнутый оператор. Н. р. о. Аназ. п- нормальным, если его подпространство нулей N(А)конечномерно [img: http://localhost:8080/file/031511-375.jpg] Н. р. о. Аназ. d-нормальным, если его дефектное подпространство конечномерно [img: http://localhost:8080/file/031511-376.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031511-377.jpg]. n-нормальные и d-нормальные операторы наз. иногда полуфредгольмовыми. Для того чтобы оператор Абыл n-нормальным, необходимо и достаточно, чтобы прообраз каждого компактного множества из R(А). был локально компактным. Пусть Xкомпактно вложено в банахово пространство [img: http://localhost:8080/file/031511-378.jpg]. Для га-нормальности Анеобходимо и достаточно наличие априорной оценки [img: http://localhost:8080/file/031511-379.jpg] Оказывается, оператор А d -нормален тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/031511-380.jpg] n-нормален. При этом [img: http://localhost:8080/file/031511-381.jpg] Следовательно, если [img: http://localhost:8080/file/031511-382.jpg] компактно вложено в банахово пространство Z, то для d-нормальности Анеобходимо и достаточно наличие априорной оценки [img: http://localhost:8080/file/031511-383.jpg] Пара чисел (п(А), d(A))наз. (d-характеристикой оператора А. Если Н. р. о. А n -нормален или d-нормален, то число [img: http://localhost:8080/file/031511-384.jpg] наз. индексом оператора А. Свойства n-нормальности и d-нормальности устойчивы: если А- п-нормален (d-нормален), а В - линейный оператор малой нормы или вполне непрерывный, то A+В n-нормален (d-нормален).