Нуль

- 1) Число, обладающее тем свойством, что любое (действительное или комплексное) число при сложении с ним не меняется. Обозначается символом 0. Произведение любого числа на Н. равно Н.: [img: http://localhost:8080/file/031512-507.jpg] Если произведение двух чисел равно Н., то один из сомножителей равен Н. (т. е. из ab=0 следует, что или а=0, или b=0). Деление на Н. не определено. Непосредственным обобщением этою понятия является понятие Н. абелевой группы. 2) Н. абелевой группы - элемент абелевой группы А(в аддитивной записи), также обозначаемый символом 0 и удовлетворяющий аксиоме [img: http://localhost:8080/file/031512-508.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031512-509.jpg]. Н. абелевой группы определен однозначно. 3) Н. кольца (в частности, тела, поля) - Н. его аддитивной группы. Н. кольца (как и число 0) относительно операции умножения обладает свойством поглощения: [img: http://localhost:8080/file/031512-510.jpg] Однако в произвольном кольце произведение двух ненулевых элементов может быть равно Н. Такие элементы наз. делителями нуля. Поля, тела и области целостности делителей Н. не имеют. 4) Левый Н. полугруппы А(в мультипликативной записи) - элемент [img: http://localhost:8080/file/031512-511.jpg], удовлетворяющий аксиоме 0*а=0 для всех [img: http://localhost:8080/file/031512-512.jpg].Правый Н. определяется двойственной аксиомой. Двусторонний Н. (т. е. левый и правый одновременно) в полугруппе может быть только один. Н. кольца является также Н. мультипликативной полугруппы этого кольца. 5) Н. решетки - наименьший элемент этой решетки. Полная решетка всегда обладает Н., он - пересечение всех ее элементов. 6) Н. алгебраической системы - элемент, отмечаемый нульарной операцией (см. Алгебраическая операция, Алгебраическая система). В большинстве рассмотренных выше примеров Н. является единственным в данной системе и даже образует нулевую подсистему. Н. наз. также нулевым элементом. 7) Н. категории - см. в ст. Нулевой объект категории. 8) Н. функции [img: http://localhost:8080/file/031512-513.jpg] принимающей значения в нек-рой абелевой группе (кольце, поле, теле) А,- набор значений переменных [img: http://localhost:8080/file/031512-514.jpg] при к-ром [img: http://localhost:8080/file/031512-515.jpg] О. А. Иванова, Л. В. Кузьмин.