Нётер проблема

- вопрос о рациональности поля инвариантов конечной группы, действующей автоморфизмами поля рациональных функций. Подробнее, пусть [img: http://localhost:8080/file/031509-314.jpg] - поле рациональных функций от п переменных с коэффициентами в поле рациональных чисел [img: http://localhost:8080/file/031509-315.jpg], т. е. К- чисто трансцендентное расширение поля [img: http://localhost:8080/file/031509-316.jpg] степени трансцендентности п. И пусть G- конечная группа, действующая автоморфизмами поля Кпосредством перестановок переменных [img: http://localhost:8080/file/031509-317.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031509-318.jpg]. Будет ли подполе К G в К, состоящее из всех неподвижных относительно Gэлементов, само полем рациональных функций от п(других) переменных с коэффициентами в [img: http://localhost:8080/file/031509-319.jpg] ? Эта проблема была поставлена Э. Нётер 11] в связи с рассмотрением Галуа теории обратной задачи. В случае положительного решения Н. п. можно было бы построить расширение Галуа поля [img: http://localhost:8080/file/031509-320.jpg] с заданной конечной группой Галуа G(см. [5]). Н. п. также тесно связана с Люрота проблемой. Н. п. в ебщем случае решается отрицательно. Первый пример нерационального поля К G был построен в [2], причем в этом примере группа Gпорождена циклич. перестановкой переменных. В [3] было установлено, что необходимое условие рациональности поля К G, найденное в [2], является и достаточным. Вопрос о рациональности поля К G в случае абелевой группы Gтесно связан с теорией алгебраических торов (см. [4]). Часто иод Н. п. понимают более общую проблему, получающуюся заменой в оригинальной Н. п. поля [img: http://localhost:8080/file/031509-321.jpg] произвольным полем k. Эта проблема решена положительно, напр., в случае, когда калгебраически замкнуто, a Gабелева.