Обобщенного сдвига операторы

гипергруппа,- понятие, возникшее в результате аксиоматизации нек-рых свойств операторов сдвига в пространствах функций на группе. В терминах операторов группового сдвига можно сформулировать такие важные математич. понятия как свертка, групповая алгебра, положительно определенная функция, почти периодическая функция и др. В рамках теории О. с. о. удается получить далеко идущие обобщения фундаментальных принципов и результатов, связанных с указанными понятиями. В частности, теория О. с. о. имеет существенные приложения к гармоническому анализу абстрактному. Термины "О. с. о." и "гипергруппа" принадлежат Ж. Дельсарту (см. [1] - [3]). Ему же принадлежат важные идеи и ряд первоначальных результатов в данной области. Систематич. построение теории О. с. о. дано главным образом в работах Б. М. Левитана (см., напр., [4] - [7]). Основные понятия. Пусть Н- произвольное множество, Ф - нек-рое векторное пространство комплекснозначных функций, определенных на Н. Пусть каждому элементу [img: http://localhost:8080/file/031601-469.jpg] сопоставлен линейный оператор [img: http://localhost:8080/file/031601-470.jpg] в Ф, причем при любом фиксированном [img: http://localhost:8080/file/031601-471.jpg] функция [img: http://localhost:8080/file/031601-472.jpg] содержится в Ф для всех [img: http://localhost:8080/file/031601-473.jpg]. Линейный оператор [img: http://localhost:8080/file/031601-474.jpg] в Ф обозначается [img: http://localhost:8080/file/031601-475.jpg] (т. е. [img: http://localhost:8080/file/031601-476.jpg]). Линейные операторы [img: http://localhost:8080/file/031601-477.jpg] наз. операторами обобщенного сдвига, если выполнены следующие условия (аксиомы): 1) [img: http://localhost:8080/file/031601-478.jpg] для любых [img: http://localhost:8080/file/031601-479.jpg] (аксиома ассоциативности), 2) существует в Нтакой элемент е, наз. нейтральным, что [img: http://localhost:8080/file/031601-480.jpg], где I - тождественный оператор. В таком случае множество Нназ. гипергруппой, так что понятия "О. с. о." и "гипергруппа" равносильны. Операторы [img: http://localhost:8080/file/031601-481.jpg] часто наз. операторами правого сдвига, тогда как [img: http://localhost:8080/file/031601-482.jpg] наз. операторами левого сдвига. О. с. о. очевидным образом возникают в любом инвариантном относительно сдвигов векторном пространстве функций на произвольной полугруппе с единицей, напр, на группе. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031601-483.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031601-484.jpg] - произведение элементов h, х в полугруппе, а [img: http://localhost:8080/file/031601-485.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031601-486.jpg] тогда аксиома ассоциативности сводится к ассоциативности умножения в полугруппе, а нейтральным элементом является единица полугруппы, так что операторы R x образуют семейство О. с. о. Нетривиальные примеры приводятся ниже. В общем случае [img: http://localhost:8080/file/031601-487.jpg] не образуют О. с. о., так как оператор [img: http://localhost:8080/file/031601-488.jpg] не обязан быть тождественным. Однако [img: http://localhost:8080/file/031601-489.jpg] является проектором, и его образ [img: http://localhost:8080/file/031601-490.jpg] наз. основным поДпространством в Ф. В пространстве [img: http://localhost:8080/file/031601-491.jpg] операторы [img: http://localhost:8080/file/031601-492.jpg] образуют семейство О. с. о., и симметрия между операторами левого и правого сдвига восстанавливается. Часто вторую из аксиом О. с. о. усиливают требованием, чтобы [img: http://localhost:8080/file/031601-493.jpg], т. е. [img: http://localhost:8080/file/031601-494.jpg] Условия 1) и 2) являются наиболее общими аксиомами О. с. о. Накладывая дополнительные условия, можно выделять более узкие классы О. с. о. Если [img: http://localhost:8080/file/031601-495.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031601-496.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031601-497.jpg] то О. с. о. Rx наз. коммутативными; в этом случае и гипергруппа Нназ. коммутативной. Если относительно Н делаются дальнейшие предположения, то для О. с. о. естественным образом возникают новые условия. Напр., если Н- локально бикомпактное пространство с мерой т, то обычно требуется, чтобы операторы [img: http://localhost:8080/file/031601-498.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031601-499.jpg] согласованно действовали в пространстве С(Н)непрерывных функций на Ни в пространствах [img: http://localhost:8080/file/031601-500.jpg] причем на [img: http://localhost:8080/file/031601-501.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031601-502.jpg] накладываются дополнительные условия типа непрерывности; если Н- гладкое многообразие, то накладываются условия типа дифференцируемоеЩ, и т. п. Различные варианты аксиоматики даны в [1], [3] - [6], [8], [15] - [20]. Примерно, с. о., связанных с группами. Операторы обобщенного сдвига Дельсарта. Пусть G- топологич. группа, К- нек-рая бикомпактная группа автоморфизмов группы [img: http://localhost:8080/file/031601-503.jpg] - мера Хаара на Ки [img: http://localhost:8080/file/031601-504.jpg]. В пространствеФ=С(G) непрерывных функцийна GО. с. о. [img: http://localhost:8080/file/031601-505.jpg] определяются с помощью равенства [img: http://localhost:8080/file/031601-506.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031601-507.jpg] - образ элемента [img: http://localhost:8080/file/031601-508.jpg] при автоморфизме [img: http://localhost:8080/file/031601-509.jpg] - произведение элементови [img: http://localhost:8080/file/031601-510.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031601-511.jpg] G. Нейтральным элементом является единица группы. Обе аксиомы О. с. о. выполняются; если Gкоммутативна, то коммутативны и О. с. о. Дельсарта. Основное подпространство [img: http://localhost:8080/file/031601-512.jpg] состоит из всех функций, постоянных на орбитах относительно действия группы К, а операторы [img: http://localhost:8080/file/031601-513.jpg] совпадают в [img: http://localhost:8080/file/031601-514.jpg] если хи улежат на одной орбите. Поэтому пространство орбит Нтакже можно наделить структурой гипергруппы, отождествляя [img: http://localhost:8080/file/031601-515.jpg] с пространством непрерывных функций на Ни полагая [img: http://localhost:8080/file/031601-516.jpg] где х- произвольный элемент орбиты h. Если G совпадает с [img: http://localhost:8080/file/031601-517.jpg], а группа автоморфизмов состоит из двух элементов (отражение относительно нуля и тождественное отображение), то [img: http://localhost:8080/file/031601-518.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031601-519.jpg] В этом случае основное подпространство состоит из четных функций, а пространство орбит отождествляется с полуосью [img: http://localhost:8080/file/031601-520.jpg] Другой частный случай О. с. о. Дельсарта получается при [img: http://localhost:8080/file/031601-521.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031601-522.jpg] при этом основное подпространство состоит из центральных функций на К, а гипергруппа, образованная орбитами, т. е. классами сопряженных элементов, коммутативна. Двойные классы смежности по бикомпактной подгруппе. Пусть G- локально бикомпактная группа, К- ее бикомпактная подгруппа, Н- пространство двойных классов смежности по подгруппе К(такой класс вместе с элементом [img: http://localhost:8080/file/031601-523.jpg] содержит и все элементы вида [img: http://localhost:8080/file/031601-524.jpg], где, [img: http://localhost:8080/file/031601-525.jpg]). Если К- нормальный делитель в G, то Нсовпадает с факторгруппой [img: http://localhost:8080/file/031601-526.jpg]. Пусть Ф - пространство, состоящее из всех таких непрерывных функций на G, что [img: http://localhost:8080/file/031601-527.jpg] для любых элементов [img: http://localhost:8080/file/031601-528.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031601-529.jpg]. О. с. о. определяется формулой [img: http://localhost:8080/file/031601-530.jpg] Пространство Ф можно отождествить с пространством С(Н) непрерывных функций на Ни так же, как для О. с. о. Дельсарта, можно наделить Hструктурой гипергруппы. Если G- линейная полупростая группа Ли, К- ее максимальная бикомпактная подгруппа, то гипергруппа Нкоммутативна и тесно связана со сферич. функциями на G(в частности, все сферич. функции лежат в Ф). В описанных выше примерах наряду с пространствами непрерывных функций можно рассматривать и другие функциональные пространства (см. [8], [13], [15] - [19]). Гиперкомплексные системы. Пусть Ф - конечная гиперкомплексная система, т. е. конечномерная ассоциативная алгебра с фиксированным базисом [img: http://localhost:8080/file/031601-531.jpg] Алгебра Ф отождествляется с пространством функций на конечном множестве Н, причем функции [img: http://localhost:8080/file/031601-532.jpg] соответствует элемент [img: http://localhost:8080/file/031601-533.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/031601-534.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031601-535.jpg] - произведение элементов [img: http://localhost:8080/file/031601-536.jpg] и x в алгебре Ф. Операторы [img: http://localhost:8080/file/031601-537.jpg] образуют семейство О. с. о. тогда и только тогда, когда один из элементов базиса Нявляется правой единицей в алгебре Ф; указанным способом устанавливается соответствие между любыми О. с. о. в пространстве функций на конечном множестве и конечными гиперкомплексными системами. Таким образом, понятие О. с. о. можно рассматривать как далеко идущее обобщение классич. понятия гиперкомплексной системы. Важные примеры О. с. о., к-рые естественно трактовать как гпперкомплексные системы со счетным или континуальным базисом, рассмотрены, напр., в [4], [5], [8]. Генераторы и теоремы Ли для О. с. о. Пусть гипергруппа Нявляется дифференцируемым (или комплексно-аналитическим) многообразием и [img: http://localhost:8080/file/031601-538.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031601-539.jpg] - дифференцируемая (соответственно голоморфная) функция на [img: http://localhost:8080/file/031601-540.jpg] при всех [img: http://localhost:8080/file/031601-541.jpg]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031601-542.jpg] - локальные координаты точки [img: http://localhost:8080/file/031601-543.jpg], причем система координат выбрана так, что нейтральный элемент имеет координаты (0,..., 0). Генераторами (инфинитезимальными операторами) правого сдвига k- топорядка для О. с. о. [img: http://localhost:8080/file/031601-544.jpg] наз. линейные операторы вида [img: http://localhost:8080/file/031601-545.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031601-546.jpg]. Аналогично генераторы левого сдвига определяются равенством [img: http://localhost:8080/file/031601-547.jpg] Из аксиомы ассоциативности можно вывести, что любой генератор левого сдвига коммутирует со всеми генераторами правого сдвига (равно как и с операторами [img: http://localhost:8080/file/031601-548.jpg]). Дифференцирование условия; ассоциативности [img: http://localhost:8080/file/031601-549.jpg] по переменным [img: http://localhost:8080/file/031601-550.jpg] соответствующее число раз дает при [img: http://localhost:8080/file/031601-551.jpg] систему уравнений [img: http://localhost:8080/file/031601-552.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031601-553.jpg]. Эту систему следует рассматривать как обобщение на случай О. с. о. первой прямой теоремы Ли (см. [3] для О. с. а. Дельсарта и [5] для общего случая). Не обязательно привлекать все уравнения системы (*), чтобы определить и(х, у). Напр., для сдвига на группе Ли уже генераторы 1-го порядка однозначно определяют функцию и(т. е. групповое умножение). В общем случае нек-рые генераторы низших порядков могут вырождаться, напр, в умножение на константу, так что соответствующие уравнения системы (*) не содержат полезной информации. Поэтому возникает задача: отобрать минимальное число уравнений из системы (*), однозначно определяющих О. с. о. При этом вырождающиеся генераторы пополняют число начальных условий. Если конечная система вида (*) при нек-рых начальных условиях, среди к-рых содержится условие [img: http://localhost:8080/file/031601-554.jpg], однозначно определяет решение [img: http://localhost:8080/file/031601-555.jpg], причем операторы, стоящие в левых частях системы, коммутируют со всеми операторами, стоящими в правых частях, то операторы [img: http://localhost:8080/file/031601-556.jpg] суть О. с. о. Это утверждение является аналогом первой обратной теоремы Ли [5]. Для нек-рого класса О. с. о. доказаны (см. [5]) аналоги второй и третьей (прямой и обратной) теорем Ли. В частности, в пространстве бесконечно дифференцируемых функций от ппеременных построены О. с. о., для к-рых генераторы правого (левого) сдвига порождают любую заданную n-мерную алгебру Ли. Получено явное описание этих генераторов в виде интегро-дифференциальных операторов 2-го порядка [10]. С помощью аналогичной техники построены [11] генераторы любого порядка, действующие в пространстве целых аналитич. ций (от ппеременных) и порождающие любую n-мерную вещественную алгебру Ли; по этим генераторам восстанавливаются О. с. о. Можно строить О. с. о., исходя не только из алгебр Ли, но и из коммутационных соотношений более общего вида (см. [7], [12]). Так, напр., уже в [1] О. с. о. на прямой строились исходя из явно заданного генератора 2-го порядка с помощью ряда, аналогичного ряду Тейлора, к-рый дает разложение обычного сдвига по степеням оператора дифференцирования. Подробно описаны коммутативные О. с. о. на прямой с генератором 2-го порядка типа Штурма - Лиувилля (см. [4], [5]) и указаны приложения к операторам и уравнениям Штурма - Лиувилля. Дана [14] полная классификация О. с. о. с генератором типа Штурма - Лиувилля (в том числе некоммутативных) в пространстве дифференцируемых функций на прямой. Представления О. с. о. и гипергрупповые алгебры. Теория представлений для О. с. о. не столь хорошо разраб. Аналогом теории унитарных представлений групп является теория симметричных представлений гипергрупповых банаховых алгебр с инволюцией. Наиболее полные результаты (см. [4] - [6]) получены для представлений коммутативных и бикомпактных О. с. о. При нек-рых условиях структурой гипергрупповой банаховой алгебры с инволюцией наделяется пространство [img: http://localhost:8080/file/031601-563.jpg] суммируемых по положительной мере тфункций на гипергруппе Н. Одно из этих условий состоит в том, чтобы мера тбыла инвариантна относительно обобщенных сдвигов (различные варианты точных определений см. в [4] -[6], [15] - [19]). При естественных предположениях доказана единственность (с точностью до скалярного множителя) меры, инвариантной относительно правых или левых обобщенных сдвигов; имеются и достаточные условия существования такой меры (условия типа компактности, коммутативности или дискретности гипергруппы, см. [8], [16] - [18]). Однако вопрос о существовании инвариантной меры для О. с. о. общего вида остается открытым (1982). Наряду с [img: http://localhost:8080/file/031601-564.jpg] важную роль играют гипергрупповая банахова алгебра мер ограниченной вариации и гипергрупповая [img: http://localhost:8080/file/031601-565.jpg] -алгебра. Гипергрупповые банаховы алгебры и их симметричные представления изучались в [4], [6], [8], [15] - [19]. Алгебры аналитич. ционалов, связанные с нек-рыми О. с. о. на прямой, описаны в [9]. Для О. с. о. общего типа топологические гипергрупповые алгебры и их представления рассмотрены в [20], при этом задачи спектрального анализа и синтеза трактовались как задачи изучения идеалов гипергрупповых алгебр. Техника гипергрупповых алгебр применена [12] для решения задач математич. физики в рамках операторного метода В. П. Маслова. Гармонический анализ. Следующая модель вскрывает структуру коммутативных О. с. о. (см. [4], [5]). Пусть положительные меры [img: http://localhost:8080/file/031601-566.jpg] заданы на пространствах [img: http://localhost:8080/file/031601-567.jpg] соответственно и с помощью функции [img: http://localhost:8080/file/031601-568.jpg], определенной на [img: http://localhost:8080/file/031601-569.jpg] задано обобщенное преобразование Фурье [img: http://localhost:8080/file/031601-570.jpg] к-рое определяет изоморфизм гильбертовых пространств [img: http://localhost:8080/file/031601-571.jpg] Пусть справедлива формула обращения [img: http://localhost:8080/file/031601-572.jpg] если мера т 2 дискретна, то эта формула дает разложение функции [img: http://localhost:8080/file/031601-573.jpg] в обобщенный ряд Фурье. Оказывается, что [img: http://localhost:8080/file/031601-574.jpg] имеет структуру гппергруппы, если для нек-рой точки [img: http://localhost:8080/file/031601-575.jpg] и для всех [img: http://localhost:8080/file/031601-576.jpg] справедливо равенство [img: http://localhost:8080/file/031601-577.jpg]. В этом случае О. с. о. определяются формулой [img: http://localhost:8080/file/031601-578.jpg] Поэтому О. с. о. естественно возникают в задачах, связанных с разложениями по ортогональным системам функций, спектральной теорией операторов и т. п., что обеспечивает широкий круг приложений теории О. с. о. (см., напр., [4], [5], [8], [15]- [19]). На случай коммутативных О. с. о. обобщены теорема Бохнера о представлении положительно определенных функций и закон двойственности Понтрягина, определено обобщенное преобразование Фурье и доказан аналог Планшереля теоремы[6] (различные варианты этих результатов см. в [15] - [17]). С помощью теории представлений можно строить гармонич. анализ и для некоммутативных О. с. о. Напр., для О. с. о. получены некоммутативные аналоги теоремы Планшереля и формулы обращения, включающие в качестве частного случая соответствующие результаты для локально компактных групп; для бикомпактных О. с. о. справедлив аналог теоремы Петера - Вейля. Для О. с. о. рассматривались варианты гармонич. анализа в духе теорий почти периодических и средне периодических функций (см. [1], [2], [4], [8], [9], [14], [20]). Для коммутативных О. с. о. получен аналог Винера глауберовой теоремы и рассмотрены вопросы спектрального синтеза (см. [21], [22]). О приложениях О. с. о. к гармонич. анализу на группах см. [8], [13], [16], [19].