Обобщенное решение

- обобщение понятия классич. решений дифференциальных (псевдодифференциальных) уравнений. Это понятие возникло в связи с многими задачами математич. физики, когда под решениями дифференциальных уравнений потребовалось понимать функции, не имеющие достаточного числа производных, и даже вовсе недифференцпруемые функции, а также более общие объекты - обобщенные функции, гиперфункции и т. д. Поэтому понятие О. р. тесно связано с понятием обобщенной производной и вообще обобщенной функции. Под обобщенным решением дифференциального уравнения [img: http://localhost:8080/file/031601-579.jpg] в классе [img: http://localhost:8080/file/031601-580.jpg]. понимается всякая обобщенная функция ииз [img: http://localhost:8080/file/031601-581.jpg], удовлетворяющая уравнению (1) в О, т. е. для любой основной функции [img: http://localhost:8080/file/031601-582.jpg] должно быть выполнено равенство [img: http://localhost:8080/file/031602-1.jpg] - сопряженный оператор к Lв смысле Лагранжа: [img: http://localhost:8080/file/031602-2.jpg] О. р. краевых задач для дифференциальных уравнений удовлетворяют краевым условиям в надлежащем обобщенном смысле (в L р(дО). или D'(дО)и т. д.), напр.: [img: http://localhost:8080/file/031602-3.jpg]), [img: http://localhost:8080/file/031602-4.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031602-5.jpg] О. р. краевых задач для дифференциальных уравнений возникают при решении их вариационными методами, при применении разностных методов, а также как слабые пределы классич. решений при применении Фурье метода, предельного поглощения принципа, предельной амплитуды принципа, методов, связанных с введением вязкости, и т. д. Примеры. 1) Общее решение уравнения [img: http://localhost:8080/file/031602-6.jpg] в классе [img: http://localhost:8080/file/031602-7.jpg] дается формулой [img: http://localhost:8080/file/031602-8.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031602-9.jpg] - функция Хевисайда: [img: http://localhost:8080/file/031602-10.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031602-11.jpg] - дельта-функция Дирака, [img: http://localhost:8080/file/031602-12.jpg] - здесь и далее произвольные постоянные. 2) Уравнение [img: http://localhost:8080/file/031602-13.jpg] имеет одно решение в классе [img: http://localhost:8080/file/031602-14.jpg], равное [img: http://localhost:8080/file/031602-15.jpg] а в классе гиперфункций общее решение его дается формулой [img: http://localhost:8080/file/031602-16.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031602-17.jpg] 3) Общее решение волнового уравнения [img: http://localhost:8080/file/031602-18.jpg] в классе [img: http://localhost:8080/file/031602-19.jpg] дается формулой [img: http://localhost:8080/file/031602-20.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031602-21.jpg] где f и g- произвольные функции класса [img: http://localhost:8080/file/031602-22.jpg] 4) Всякое решение ииз D'(0) уравнения Лапласа [img: http://localhost:8080/file/031602-23.jpg] - (вещественно) аналитическое в О. 5) Всякое решение ииз D' уравнения теплопроводности [img: http://localhost:8080/file/031602-24.jpg] - бесконечно дифференцируемое. 6) Всякий дифференциальный оператор [img: http://localhost:8080/file/031602-25.jpg] с постоянными коэффициентами имеет фундаментальное решение (медленного роста) из класса S'. 7) Всякое уравнение [img: http://localhost:8080/file/031602-26.jpg] - дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, имеет при любом [img: http://localhost:8080/file/031602-27.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/031602-28.jpg] О. р. и из [img: http://localhost:8080/file/031602-29.jpg] если О- ограниченная область. 8) О. р. икраевой задачи [img: http://localhost:8080/file/031602-30.jpg] в классе Соболева [img: http://localhost:8080/file/031602-31.jpg] возникает как решение классической вариационной задачи о минимуме квадратичного функционала [img: http://localhost:8080/file/031602-32.jpg] в классе [img: http://localhost:8080/file/031602-33.jpg]. Решение этой вариационной задачи при любом f из [img: http://localhost:8080/file/031602-34.jpg] существует и единственно в классе [img: http://localhost:8080/file/031602-35.jpg]. Таким образом, О. р. краевой задачи (2) при всех [img: http://localhost:8080/file/031602-36.jpg] дают самосопряженное расширение оператора [img: http://localhost:8080/file/031602-37.jpg] (жесткое расширение, или расширение по Фридрихсу). О. р. краевой задачи (2), как и все их производные,- регулярные в О(т. е. типа локально интегрируемых функций в О), вторые их, производные, вообще говоря,- сингулярные обобщенные функции.