Обобщенной функции производная

- слабое расширение операции обычного дифференцирования. Пусть обобщенная функция [img: http://localhost:8080/file/031602-60.jpg]. Обобщенная (слабая) производная [img: http://localhost:8080/file/031602-61.jpg] порядка [img: http://localhost:8080/file/031602-62.jpg] определяется равенством [img: http://localhost:8080/file/031602-63.jpg] Так как операция [img: http://localhost:8080/file/031602-64.jpg] линейна и непрерывна из D(О)в D(О), то функционал [img: http://localhost:8080/file/031602-65.jpg] определяемый правой частью равенства (*), есть обобщенная функция из [img: http://localhost:8080/file/031602-66.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/031602-67.jpg] при всех [img: http://localhost:8080/file/031602-68.jpg] таких, что [img: http://localhost:8080/file/031602-69.jpg] Имеют место следующие свойства О. ф. п.: операция [img: http://localhost:8080/file/031602-70.jpg] линейна и непрерывна из D' (О)в D' (О);любая обобщенная функция из D' (О)бесконечно дифференцируема (в обобщенном смысле); дифференцирование He-зависит от порядка; справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения аf, где [img: http://localhost:8080/file/031602-71.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031602-72.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/031602-73.jpg] Может случиться, что нек-рая обобщенная производная [img: http://localhost:8080/file/031602-74.jpg] может быть отождествлена с нек-рой [img: http://localhost:8080/file/031602-75.jpg] (О)-функцией. В этом случае [img: http://localhost:8080/file/031602-76.jpg] - обобщенная производная типа функции. Примеры. 1) [img: http://localhost:8080/file/031602-77.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031602-78.jpg] - функция Хевисайда и d - функция Дирака. 2) Общее решение уравнения [img: http://localhost:8080/file/031602-79.jpg] в классе [img: http://localhost:8080/file/031602-80.jpg] есть произвольная постоянная. 3) Тригонометрический ряд [img: http://localhost:8080/file/031602-81.jpg] сходится в D' и его можно дифференцировать в D' почленно бесконечное число раз.