Обобщенные почти периодические функции

- классы функций, являющиеся различными обобщениями почти периодич. функций. Каждый из них обобщает какую-то из сторон в определениях Бора почти периодических функций и Бохнера почти периодических функций. В этих определениях встречаются следующие математич. понятия (структуры): 1) пространство функций, определенных на всей прямой как метрич. пространство с метрикой (расстоянием): [img: http://localhost:8080/file/031602-82.jpg] 2) отображение прямой [img: http://localhost:8080/file/031602-83.jpg] в комплексную плоскость [img: http://localhost:8080/file/031602-84.jpg] (функция); 3) прямая линия [img: http://localhost:8080/file/031602-85.jpg] как группа; 4) прямая линия как топологич. пространство. Имеющиеся обобщения почти периодич. функций удобно классифицировать в согласии с этими структурами. 1)Если вместо непрерывности требовать от функции [img: http://localhost:8080/file/031602-86.jpg], измеримость и суммируемость с р- йстепенью в каждом конечном промежутке, то в качестве расстояния можно принять одно из следующих трех выражений: расстояние Степанова: [img: http://localhost:8080/file/031602-87.jpg] Этим расстояниям соответствуют обобщенные Степанова почти периодические функции, Вейля почти периодические функции и Безиковича почти периодические функции. 2) Пусть прямая [img: http://localhost:8080/file/031602-88.jpg] отображается не в [img: http://localhost:8080/file/031602-89.jpg], а в банахово пространство В. Такое отображение наз. абстрактной функцией. Пусть абстрактные функции непрерывны и расстояние между ними определяется по формуле (*), в к-рой модуль заменен нормой. Тогда определения Бора и Бохнера обобщаются и приводят к т. н. абстрактным почти периодическим функциям. Дальнейшее обобщение получается заменой банахова пространства на топологическое векторное пространство. В этом случае почти период [img: http://localhost:8080/file/031602-90.jpg] определяется так: для всякого [img: http://localhost:8080/file/031602-91.jpg] существует такая окрестность нуля [img: http://localhost:8080/file/031602-92.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/031602-93.jpg]. Если топологию, определяемую нормой, заменить слабой топологией, то получаются т. н. слабо почти периодические функции: функция [img: http://localhost:8080/file/031602-94.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031602-95.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031602-96.jpg], наз. слабо почти периодической, если для любого функционала [img: http://localhost:8080/file/031602-97.jpg] есть числовая почти периодич. функция. 3) Пусть вместо прямой [img: http://localhost:8080/file/031602-98.jpg] рассматривается произвольная группа G(не обязательно топологическая) и отображение [img: http://localhost:8080/file/031602-99.jpg] группы Gв топологическое векторное пространство (в частности, в [img: http://localhost:8080/file/031602-100.jpg]). В качестве определения почти периодич. функций удобней принять определение Бохнера: [img: http://localhost:8080/file/031602-101.jpg] наз. почти периодической функцией на группе, если семейство функций [img: http://localhost:8080/file/031602-102.jpg] (или, что эквивалентно, семейство [img: http://localhost:8080/file/031602-103.jpg]), условно компактно. 3) В определении почти периодич. функции на группе важна не сама групповая операция, а операция сдвига на функциях: [img: http://localhost:8080/file/031602-104.jpg] (или [img: http://localhost:8080/file/031602-105.jpg]), [img: http://localhost:8080/file/031602-106.jpg] Поэтому дальнейшее обобщение почти периодич. функций получается обобщением операции сдвига. Пусть W- абстрактное пространство (не обязательно группа) и [img: http://localhost:8080/file/031602-107.jpg] - функция, определенная на [img: http://localhost:8080/file/031602-108.jpg]. Семейство линейных операторов [img: http://localhost:8080/file/031602-109.jpg] наз. обобщенного сдвига операторами, если выполняются следующие аксиомы:) ассоциативность: [img: http://localhost:8080/file/031602-110.jpg] 2) существование нейтрального элемента, т. е. такого элемента [img: http://localhost:8080/file/031602-111.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/031602-112.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031602-113.jpg] - единичный оператор. Функция [img: http://localhost:8080/file/031602-114.jpg] наз. почти периодической относительно семейства операторов обобщенного сдвига [img: http://localhost:8080/file/031602-115.jpg], если семейство функций [img: http://localhost:8080/file/031602-116.jpg] (х - параметр) условно компактно относительно равномерной сходимости на W. Следует отметить, что теория таких функций относительно даже конкретных семейств операторов обобщенного сдвига еще слабо разработана (см. [1], [5]). 4) Пусть [img: http://localhost:8080/file/031602-117.jpg] - произвольное конечное или счетное множество действительных чисел. Пусть прямая [img: http://localhost:8080/file/031602-118.jpg] превращена в топологическое векторное пространство заданием окрестности нуля как множества действительных чисел х, удовлетворяющих неравенствам [img: http://localhost:8080/file/031602-119.jpg] (числа [img: http://localhost:8080/file/031602-120.jpg] и Nвыбираются произвольно и определяют окрестность нуля). Оказывается, что почти периодич. функции Бора совпадают с функциями, равномерно непрерывными в этой топологии (в качестве чисел [img: http://localhost:8080/file/031602-121.jpg] можно взять показатели Фурье функции или их целый базис). Функции, непрерывные в указанной топологии, дают еще одно обобщение почти периодич. функций. Это - так наз. N-почти периодические функции Левитана. Определение N-почти периодич. функций очевидным образом переносится на функции, определенные на абелевой группе (и менее очевидно - на некоммутативные группы). В указанную здесь классификацию О. п. п. ф. не совсем хорошо укладываются т. н. асимптотические почти периодич. функции, введенные М. Фреше (см. [9], [10]) в связи с нек-рыми проблемами эргодич. теории. Функция [img: http://localhost:8080/file/031602-122.jpg] наз. асимптотической почти периодической функцией, если для всех [img: http://localhost:8080/file/031602-123.jpg] и произвольной последовательности действительных чисел [img: http://localhost:8080/file/031602-124.jpg] существует подпоследовательность [img: http://localhost:8080/file/031602-125.jpg] последовательности [img: http://localhost:8080/file/031602-126.jpg], для к-рой [img: http://localhost:8080/file/031602-127.jpg] сходится равномерно для всех [img: http://localhost:8080/file/031602-128.jpg]