Обобщенные теории когомологии

экстраординарные теории когомологий,- класс специальных функторов из категории пар пространств в категорию градуированных абелевых групп. О. т. к. есть пара [img: http://localhost:8080/file/031602-129.jpg] - функтор из категории Рпар топологич. пространств в категорию GA градуированных абелевых групп (т. е. каждой паре пространств (X, А)отвечает градуированная абелева группа [img: http://localhost:8080/file/031602-130.jpg] и каждому непрерывному отображению [img: http://localhost:8080/file/031602-131.jpg] - набор гомоморфизмов [img: http://localhost:8080/file/031602-132.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031602-133.jpg] - заданный для каждой пары (X, А)набор гомоморфизмов [img: http://localhost:8080/file/031602-134.jpg] естественных в том смысле, что для любого непрерывного [img: http://localhost:8080/file/031602-135.jpg] имеет место [img: http://localhost:8080/file/031602-136.jpg] причем должны выполняться следующие три аксиомы. 1) Аксиома гомотопии. Если два отображения [img: http://localhost:8080/file/031602-137.jpg] гомотопны, то гомоморфизмы [img: http://localhost:8080/file/031602-138.jpg] совпадают для всех п. 2) Аксиома точности. Для любой пары (X, А)последовательность [img: http://localhost:8080/file/031602-139.jpg] точна; здесь [img: http://localhost:8080/file/031602-140.jpg] очевидные включения. 3) Аксиома вырезания. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031602-141.jpg] - пара пространств п пусть [img: http://localhost:8080/file/031602-142.jpg] таково, что [img: http://localhost:8080/file/031602-143.jpg] Тогда включение [img: http://localhost:8080/file/031602-144.jpg] для всех пиндуцирует изоморфизмы [img: http://localhost:8080/file/031602-145.jpg] Для корасслоения [img: http://localhost:8080/file/031602-146.jpg] из аксиом следует, что проекция [img: http://localhost:8080/file/031602-147.jpg] - пространство, состоящее из одной точки, индуцирует изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031602-148.jpg] Часто вместо [img: http://localhost:8080/file/031602-149.jpg] пишут просто [img: http://localhost:8080/file/031602-150.jpg], а вместо [img: http://localhost:8080/file/031602-151.jpg] - просто [img: http://localhost:8080/file/031602-152.jpg]. Группу [img: http://localhost:8080/file/031602-153.jpg] наз. группой n-мерных (обобщенных) когомологий пары (X, А), а градуированную группу [img: http://localhost:8080/file/031602-154.jpg] - группой коэффициентов О. т. к. В определении О. т. к. можно вместо категории рбрать категорию пар корасслоений или категорию [img: http://localhost:8080/file/031602-155.jpg] пар клеточных пространств, или категорию [img: http://localhost:8080/file/031602-156.jpg] пар конечных клеточных пространств (при этом в аксиоме вырезания надо потребовать, чтобы пара [img: http://localhost:8080/file/031602-157.jpg] была изоморфна объекту соответствующей категории. В этих случаях говорят, что О. т. к. [img: http://localhost:8080/file/031602-158.jpg] определена на категории [img: http://localhost:8080/file/031602-159.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/031602-160.jpg]). Выбор термина О. т. к. мотивируется следующим обстоятельством. Доказано [2], что любой функтор [img: http://localhost:8080/file/031602-161.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031602-162.jpg], удовлетворяющий аксиомам 1-3 и т. н. аксиоме размерности (состоящей в том, что [img: http://localhost:8080/file/031602-163.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031602-164.jpg]), есть обычная теория когомологий [img: http://localhost:8080/file/031602-165.jpg] с коэффициентами в [img: http://localhost:8080/file/031602-166.jpg]. Позже было замечено, что многие полезные конструкции алгебраич. топологии (напр., кобордизмы, К-теория)удовлетворяют аксиомам 1-3 и что эффективность этих конструкций в значительной степени обусловлена свойствами, формально вытекающими из этих аксиом. Эти обстоятельства и привели к формированию понятия О. т. к. Пусть X- пунктированное пространство и [img: http://localhost:8080/file/031602-167.jpg] - пунктированное отображение. Группу приведенных обобщенных когомологий [img: http://localhost:8080/file/031602-168.jpg] пространства Xопределяют, полагая [img: http://localhost:8080/file/031602-169.jpg] Имеется очевидное расщепление [img: http://localhost:8080/file/031602-170.jpg] и его можно сделать каноническим, считая, что вложение [img: http://localhost:8080/file/031602-171.jpg] индуцировано отображением [img: http://localhost:8080/file/031602-172.jpg] Ясно, что [img: http://localhost:8080/file/031602-173.jpg]. Кроме того, для корасслоения [img: http://localhost:8080/file/031602-174.jpg] из аксиом 1-3 следует изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031602-175.jpg] (см. [2], [3]), так что [img: http://localhost:8080/file/031602-176.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031602-177.jpg]. Здесь, как обычно, при [img: http://localhost:8080/file/031602-179.jpg] Если (X, А)- корасслоение, то из аксиом следует точность последовательности (естественной на категории корасслоений) [img: http://localhost:8080/file/031602-180.jpg] Здесь [img: http://localhost:8080/file/031602-181.jpg] - очевидные отображения, а [img: http://localhost:8080/file/031602-182.jpg] есть композиция [img: http://localhost:8080/file/031602-183.jpg] В частности, если Xесть конус С А над А, то [img: http://localhost:8080/file/031602-184.jpg] (аксиома гомотоиии), а [img: http://localhost:8080/file/031602-185.jpg] есть надстройка SA над А, и точность последовательности (*) влечет изоморфизмы надстройки [img: http://localhost:8080/file/031602-186.jpg] естественные по А. При этом изоморфизмы d позволяют восстановить гомоморфизмы [img: http://localhost:8080/file/031602-187.jpg] (см. [2], [3]); это делается с использованием т. н. последовательности Пуппе. Применение к последней функтора [img: http://localhost:8080/file/031602-188.jpg] дает точную последовательность (*). Таким образом, по приведенной О. т. к. [img: http://localhost:8080/file/031602-189.jpg] полностью восстанавливается О. т. к. [img: http://localhost:8080/file/031602-190.jpg] О. т. к. [img: http://localhost:8080/file/031602-191.jpg] наз. мультипликативной, если для любых пар пространств (X, A),(Y, В)из Рзадано естественное спаривание [img: http://localhost:8080/file/031602-192.jpg] удовлетворяющее условиям коммутативности и ассоциативности (см. [4], [5]). В этом случае для [img: http://localhost:8080/file/031602-193.jpg] группа. [img: http://localhost:8080/file/031602-194.jpg] является градуированным (коммутативным, ассоциативным) кольцом относительно умножения [img: http://localhost:8080/file/031602-195.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031602-196.jpg] - диагональ, и индуцированные отображения [img: http://localhost:8080/file/031602-197.jpg] суть кольцевые гомоморфизмы. Более общим образом можно определить спаривание двух О. т. к. в третьей [5]. Обычные когомологий. [img: http://localhost:8080/file/031602-198.jpg] можно определить как группу [img: http://localhost:8080/file/031602-199.jpg] гомотопич. классов непрерывных отображений из Xв Эйленберга- Маклейна пространство K(G, n). Это обобщается и на О. т. к. следующим образом. Спектром пространств наз. последовательность пространств [img: http://localhost:8080/file/031602-200.jpg] и непрерывных отображений [img: http://localhost:8080/file/031602-201.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031602-202.jpg] - надстройка над [img: http://localhost:8080/file/031602-203.jpg]. Для пространства Xопределяется группа [img: http://localhost:8080/file/031602-204.jpg] равенством [img: http://localhost:8080/file/031602-205.jpg] Здесь отображения [img: http://localhost:8080/file/031602-206.jpg] определяются композицией [img: http://localhost:8080/file/031602-207.jpg] Очевидным образом строятся изоморфизмы надстройки [img: http://localhost:8080/file/031602-208.jpg]. Таким образом, каждый спектр пространств задает нек-рую О. т. к. [img: http://localhost:8080/file/031602-209.jpg] и, значит, неприведенную О. т. к. [img: http://localhost:8080/file/031602-210.jpg] Если для О. т. к. [img: http://localhost:8080/file/031602-211.jpg] существует спектр, из к-рого она получается описанным выше способом, то говорят, что этот спектр представляет О. т. к. [img: http://localhost:8080/file/031602-212.jpg] или что теория [img: http://localhost:8080/file/031602-213.jpg] представ им а этим спектром. Известно, что любая О. т. к. на категории [img: http://localhost:8080/file/031602-214.jpg] представима спектром, единственным с точностью до слабой гомотопич. эквивалентности. Если О. т. к. [img: http://localhost:8080/file/031602-215.jpg] представима кольцевым спектром пространств, то она мультипликативна [5]. Для О. т. к., заданной на категории [img: http://localhost:8080/file/031602-216.jpg], верно и обратное. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031602-217.jpg] - расслоение в смысле Серра. Для любой О. т. к. [img: http://localhost:8080/file/031602-218.jpg] и любого пгруппы [img: http://localhost:8080/file/031602-219.jpg] образуют локальную систему групп на пространстве В. Существует спектральная последовательность Дольда- Атьн - Хирцебруха [img: http://localhost:8080/file/031602-220.jpg] начальный член к-рой есть [img: http://localhost:8080/file/031602-221.jpg]. Если В- конечное клеточное пространство, то эта спектральная последовательность сходится и ее предельный член присоединен к группе h* (Е)(см. [1]). В частности, если [img: http://localhost:8080/file/031602-222.jpg], то получается спектральная последовательность [img: http://localhost:8080/file/031602-223.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031602-224.jpg] позволяющая (иногда) вычислять группу [img: http://localhost:8080/file/031602-225.jpg] по группам [img: http://localhost:8080/file/031602-226.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031602-227.jpg] С каждой О. т. к. h* можно связать двойственную обобщенную теорию гомологии [img: http://localhost:8080/file/031602-228.jpg], аксиоматика к-рой аналогична аксиоматике О. т. к. с учетом того, что гомологии - ковариантиый функтор [4]. При этом если пространства Xи Y (n+1)-двойственны (см. S-двойственностъ), то [img: http://localhost:8080/file/031602-229.jpg] Кроме того, если О. т. к. [img: http://localhost:8080/file/031602-230.jpg] представима спектром [img: http://localhost:8080/file/031602-231.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031602-232.jpg] При этом для мультипликативной О. т. к. [img: http://localhost:8080/file/031602-233.jpg] имеется спаривание [img: http://localhost:8080/file/031602-234.jpg] высечения [img: http://localhost:8080/file/031602-235.jpg]: Важнейшими примерами О. т. к. является K-теория и различные кобордизмы. Двойственные к кобордизмам обобщенные теории гомологии суть бордизмы. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031602-236.jpg] есть и-мерное векторное расслоение над X, ориентируемое в О. т. к. [img: http://localhost:8080/file/031602-237.jpg] - его Тома простран ство. В этом случае имеет место обобщенный Тома изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031602-238.jpg] (см. ([1]). Отсюда (и из теоремы двойственности Атьи [7]) следует обобщенная Пуанкаре двойственность:пусть Р- Пуанкаре пространство формальной размерности п(напр., замкнутое n-мерное многообразие), нормальное расслоение к-рого ориентируемо в О. т. к. h*. Тогда для любого целого iимеет место [img: http://localhost:8080/file/031602-239.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/031602-240.jpg] есть N-мерное нормальное расслоение над Р п [img: http://localhost:8080/file/031602-241.jpg] - его пространство Тома. Пространства [img: http://localhost:8080/file/031602-242.jpg] -двойственны (отношение, названное в статье S-двойственность(n+1)-двойственностыо, часто наз. n-двойственность). Поэтому [img: http://localhost:8080/file/031602-243.jpg] Элемент zгруппы [img: http://localhost:8080/file/031602-244.jpg], отвечающий при этом изоморфизме единице [img: http://localhost:8080/file/031602-245.jpg] наз. фундаментальным классом пространства Рв О. т. к. [img: http://localhost:8080/file/031602-246.jpg], это понятие обобщает классич. понятие фундаментального класса. Доказано, что изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031602-247.jpg] задается "высечением на фундаментальном классе", т. е. имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031602-248.jpg] (см. [4]). Пусть F- одно из полей [img: http://localhost:8080/file/031602-249.jpg] или тело кватернионов [img: http://localhost:8080/file/031602-250.jpg]. Мультипликативная О. т. к. [img: http://localhost:8080/file/031602-251.jpg] наз. F-ориентируемой, если все F-векторные расслоения ориентируемы в [img: http://localhost:8080/file/031602-252.jpg]. Оказывается, что для любой F- ориентируемой О. т. к. [img: http://localhost:8080/file/031602-253.jpg] и любого F-векторного расслоения над Xможно определить обобщенные характеристические классы расслоения [img: http://localhost:8080/file/031602-254.jpg] со значениями в группе [img: http://localhost:8080/file/031602-255.jpg], при этом для F, соответственно равного, [img: http://localhost:8080/file/031602-256.jpg] С или [img: http://localhost:8080/file/031602-257.jpg], и обычной теории когомологий [img: http://localhost:8080/file/031602-258.jpg] (или [img: http://localhost:8080/file/031602-259.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/031602-260.jpg].) получаются соответственно классы Штифеля, Чжэня или Бореля. При этом (см. Кобордизм)универсальной F-ориентированной О. т. к. является теория GF -кобордизмов. Это проявляется также в существовании спектральных последовательностей, связывающих [img: http://localhost:8080/file/031602-261.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031602-262.jpg] - одно из полей [img: http://localhost:8080/file/031602-263.jpg]. Кроме того, с каждой [img: http://localhost:8080/file/031602-264.jpg] -ориентированной О. т. к. [img: http://localhost:8080/file/031602-265.jpg] можно ассоциировать формальную группу над кольцом [img: http://localhost:8080/file/031602-266.jpg], и универсальность кобордизмов отражается и в том факте, что формальная группа теории унитарных кобордизмов универсальна (чисто алгебраически) в классе всех формальных групп. При этом формальная группа О. т. к. [img: http://localhost:8080/file/031602-267.jpg] несет с последней довольно много информации. Часто бывает необходимо продолжать О. т. к. с подкатегории на всю категорию. Напр., надо продолжить О. т. к. [img: http://localhost:8080/file/031602-268.jpg], заданную на категории [img: http://localhost:8080/file/031602-269.jpg] на всю категорию [img: http://localhost:8080/file/031602-270.jpg] Первый способ: берется спектр, представляющий (на [img: http://localhost:8080/file/031602-271.jpg]) О. т. к. [img: http://localhost:8080/file/031602-272.jpg], и с его помощью строится О. т. к. на всем [img: http://localhost:8080/file/031602-273.jpg]. Второйспособ: пусть О. т. к., [img: http://localhost:8080/file/031602-274.jpg] задана на [img: http://localhost:8080/file/031602-275.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031602-276.jpg] - семейство конечных клеточных подпространств пространства Xи [img: http://localhost:8080/file/031602-277.jpg] Тогда [img: http://localhost:8080/file/031602-278.jpg] - функтор на [img: http://localhost:8080/file/031602-279.jpg], удовлетворяющий всем аксиомам О. т. к., кроме аксиомы точности (функтор [img: http://localhost:8080/file/031602-280.jpg] не сохраняет точность). При этом для любого [img: http://localhost:8080/file/031602-281.jpg] и любой О. т. к. [img: http://localhost:8080/file/031602-282.jpg] продолжающей О. т. к., [img: http://localhost:8080/file/031602-283.jpg] естественный гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031602-284.jpg] эпиморфен. В общем случае должны, видимо, возникать спектральные последовательности, использующие высшие производные функторы [img: http://localhost:8080/file/031602-285.jpg] и вычисляющие [img: http://localhost:8080/file/031602-286.jpg] по [img: http://localhost:8080/file/031602-287.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031602-288.jpg] (эти спектральные последовательности известны (1982) лишь для [img: http://localhost:8080/file/031602-289.jpg]). Для обобщенной теории гомологии [img: http://localhost:8080/file/031602-290.jpg], заданной на [img: http://localhost:8080/file/031602-291.jpg] функтор [img: http://localhost:8080/file/031602-292.jpg] удовлетворяет аксиоме точности и, следовательно, всегда является продолжением [img: http://localhost:8080/file/031602-293.jpg] с [img: http://localhost:8080/file/031602-294.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/031602-295.jpg]. Третий способ является аналогом способа Александрова - Чеха и основывается на использовании конструкции нерва. О. т. к. можно продолжить и на категорию спектров: пусть [img: http://localhost:8080/file/031602-296.jpg] - спектр пространств. Группа [img: http://localhost:8080/file/031602-297.jpg] определяется соотношением [img: http://localhost:8080/file/031602-298.jpg] отображения [img: http://localhost:8080/file/031602-299.jpg] имеют вид [img: http://localhost:8080/file/031602-300.jpg] Полученный функтор h* на категории спектров удовлетворяет всем аксиомам приведенной О. т. к. (при правильном их переносе в категории спектров) (см. [5]). Имеется естественная задача "сравнения" различных О. т. к., и в частности задача выражения одних О. т. Полезно было бы научиться трактовать О. т. к. как когомологический функтор, т. е. разлагать [img: http://localhost:8080/file/031602-309.jpg] в композицию [img: http://localhost:8080/file/031602-310.jpg] - канонический (не зависящий от [img: http://localhost:8080/file/031602-311.jpg]) функтор в абелеву категорию А. Один из путей реализации этого намечен в [8].