Обобщенных функций произведение

произведение [img: http://localhost:8080/file/031602-312.jpg] обобщенной функции [img: http://localhost:8080/file/031602-313.jpg] с функцией [img: http://localhost:8080/file/031602-314.jpg] определяемое равенством [img: http://localhost:8080/file/031602-315.jpg] при атом [img: http://localhost:8080/file/031602-316.jpg] и для (обычных) функций [img: http://localhost:8080/file/031602-317.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/031602-318.jpg] произведение [img: http://localhost:8080/file/031602-319.jpg] совпадает с обычным умножением функций [img: http://localhost:8080/file/031602-320.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031602-321.jpg] Примеры. 1) [img: http://localhost:8080/file/031602-322.jpg] Однако эта операция произведения не допускает распространения на любые обобщенные функции так, чтобы она была ассоциативной и коммутативной, иначе было бы противоречие: [img: http://localhost:8080/file/031602-323.jpg] Чтобы определить произведение двух обобщенных функций [img: http://localhost:8080/file/031602-324.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031602-325.jpg], достаточно, чтобы они обладали, грубо говоря, свойствами: насколько f "нерегулярна" в окрестности произвольной точки, настолько gдолжна быть "регулярной" в этой окрестности и наоборот, напр, если sing supp [img: http://localhost:8080/file/031602-326.jpg] (см. Обобщенной функции носитель). В нек-рых классах обобщенных функций их произведение можно определить, однако оно может оказаться неоднозначным. Пример ы: 3) Граничные значения из алгебры голоморфных функций Н(С)(одночастотные обобщенные функции): [img: http://localhost:8080/file/031602-327.jpg] Они образуют алгебру, ассоциативную и коммутативную с единицей [2]. 4) [img: http://localhost:8080/file/031602-328.jpg] где с- произвольная постоянная. Действительно, [img: http://localhost:8080/file/031602-329.jpg] Но на основных функциях [img: http://localhost:8080/file/031602-330.jpg] таких, что [img: http://localhost:8080/file/031602-331.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031602-332.jpg] Поэтому естественно положить [img: http://localhost:8080/file/031602-333.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/031602-334.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031602-335.jpg]. Расширяя этот функционал на все основные функции [img: http://localhost:8080/file/031602-336.jpg] из D, получают 4). 5) Определить произведение [img: http://localhost:8080/file/031602-337.jpg]. Функция [img: http://localhost:8080/file/031602-338.jpg] не принадлежит к [img: http://localhost:8080/file/031602-339.jpg], однако она определяет регулярные обобщенные функции: [img: http://localhost:8080/file/031602-340.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/031602-341.jpg] Их можно согласованно продолжить до обобщенных функций из [img: http://localhost:8080/file/031602-342.jpg], напр., взяв конечную часть по Адамару расходящегося интеграла (перенормировав его) [img: http://localhost:8080/file/031602-343.jpg] Обобщенная функция [img: http://localhost:8080/file/031602-344.jpg] (перенормированный функционал для [img: http://localhost:8080/file/031602-345.jpg]) зависит от произвольного параметра [img: http://localhost:8080/file/031602-346.jpg], Произвол в перенормировке таков: [img: http://localhost:8080/file/031602-347.jpg] Эти идеи привели к процедуре перенормировки амплитуд Фейнмана в квантовой теории поля. Перенормировочные константы (напр., массы и заряды) выступают как произвольные постоянные, аналогичные [img: http://localhost:8080/file/031602-348.jpg]; наиболее общее определение О. ф. п. дается в терминах волновых фронтов.