Обратная функция

- функция, определенная на множестве значений заданной функции и ставящая в соответствие каждому его элементу множество всех тех элементов из области определения рассматриваемой функции, к-рые в него отображаются, т. е. его полный прообраз. Если данная функция обозначена символом f, то О. ф. обозначается символом [img: http://localhost:8080/file/031602-514.jpg]. Таким образом, если [img: http://localhost:8080/file/031602-515.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031602-516.jpg] - множество значений функции f, [img: http://localhost:8080/file/031602-517.jpg],то для любого [img: http://localhost:8080/file/031602-519.jpg] справедливо равенство [img: http://localhost:8080/file/031602-518.jpg] Если для любого элемента [img: http://localhost:8080/file/031602-520.jpg] его полный прообраз состоит в точности из одного элемента [img: http://localhost:8080/file/031602-521.jpg], т. е. отображение [img: http://localhost:8080/file/031602-522.jpg] является биекцией, то О. ф. является однозначной, в противном случае - многозначной. Если множества Xи Yявляются подмножествами числовой прямой (или вообще нек-рых упорядоченных множеств), то условие строгой монотонности функции f необходимо и достаточно для существования обратной однозначной функции. По ряду свойств функции f можно судить о соответствующих свойствах О. ф. Так, напр., если функция f строго монотонна и непрерывна на нек-ром промежутке числовой оси, то ее О. ф. также монотонна и непрерывна на соответствующем промежутке. Если взаимно однозначное отображение бикомпакта на топологическое хаусдорфово пространство непрерывно, то и обратное отображение непрерывно, т. е. рассматриваемое отображение является гомеоморфизмом. Когда отображение f является биективным линейным ограниченным оператором, отображающим банахово пространство Xна банахово пространство Y, то обратный оператор [img: http://localhost:8080/file/031602-523.jpg] также является линейным и ограниченным. Пусть f - непрерывное отображение замыкания i [img: http://localhost:8080/file/031602-524.jpg] ограниченной области [img: http://localhost:8080/file/031602-525.jpg] с достаточно хорошей границей в [img: http://localhost:8080/file/031602-526.jpg], f - дифференцируемо в Gи отображает границу Gна границу f(G) и множество нулей его якобиана образует изолированное множество; тогда если отображение f взаимно однозначно на границе области G, то оно взаимно однозначно и на [img: http://localhost:8080/file/031602-527.jpg] Для существования локального обратного отображения в окрестности данной точки достаточно необращения в нуль якобиана отображения в нек-рой окрестности этой точки. Если [img: http://localhost:8080/file/031602-528.jpg] - дифференцируемое отображение с якобианом, неравным нулю во всех точках [img: http://localhost:8080/file/031602-529.jpg], то для любой точки [img: http://localhost:8080/file/031602-530.jpg] существует такая ее окрестность [img: http://localhost:8080/file/031602-531.jpg], что сужение [img: http://localhost:8080/file/031602-532.jpg] отображения f на окрестности Uвзаимно однозначно отображает множество Uна нек-рую окрестность [img: http://localhost:8080/file/031602-533.jpg] точки [img: http://localhost:8080/file/031602-534.jpg] и обратное отображениетакже [img: http://localhost:8080/file/031602-535.jpg] дифференцируемо (на V). Эта теорема обобщается и на бесконечномерный случай: пусть Xи Y - полные нормированные пространства, [img: http://localhost:8080/file/031602-536.jpg] - открытое множество, [img: http://localhost:8080/file/031602-537.jpg] - непрерывно дифференцируемое отображение. Если [img: http://localhost:8080/file/031602-538.jpg] - обратимый элемент пространства линейных ограниченных операторов [img: http://localhost:8080/file/031602-539.jpg] производная Фреше), [img: http://localhost:8080/file/031602-540.jpg] то существуют-такие окрестности [img: http://localhost:8080/file/031602-541.jpg] соответственно точек х 0 и [img: http://localhost:8080/file/031602-542.jpg] в пространствах Xп. Y, что отображение [img: http://localhost:8080/file/031602-543.jpg] является непрерывно дифференцируемым гомеоморфизмом вместе со своим обратным отображением.