Обрыва цепей условие

- условие конечности возрастающих или убывающих цепей в частично упорядоченном множестве. Условие обрыва убывающих цепей: для всякой цепи [img: http://localhost:8080/file/031603-64.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031603-65.jpg] элементов частично упорядоченного множества Р найдется такой номер и, что [img: http://localhost:8080/file/031603-66.jpg] Выполнение этого условия эквивалентно каждому из следующих свойств частично упорядоченного множества Р: 1) всякое непустое подмножество [img: http://localhost:8080/file/031603-67.jpg] имеет хотя бы один минимальный (в М)элемент (условие минимальности); 2) все элементы из Робладают нек-рым свойством s, если этим свойством обладают все минимальные элементы множества Ри если справедливость свойства е для любого [img: http://localhost:8080/file/031603-68.jpg] можно вывести из того, что е справедливо для всех [img: http://localhost:8080/file/031603-69.jpg] (условие индуктивности). Условие индуктивности позволяет для множеств с условием обрыва убывающих цепей проводить по индукции доказательства и построения. При этом если Рвполне упорядочено,- получается трансфинитная индукция, а если Ризоморфно множеству всех неотрицательных целых чисел,- обычная математич. индукция (см. Индукции аксиома). Условие.обрыва возрастающих цепей (и эквивалентные ему утверждения) формулируется двойственным образом (см. Двойственности принцип в частично упорядоченных множествах). В решетке с условием обрыва возрастающих цепей каждый идеал - главный. Всякое конечное множество очевидно удовлетворяет обоим О. ц. у., однако обратное утверждение (конечность множества, удовлетворяющего этим двум условиям) неверно. Решетка с условиями обрыва убывающих и возрастающих цепей полна. О. ц. у. используются в алгебре, в основном в применении к упорядоченному по включению множеству подсистем различных алгебраич. систем (см., напр., Артинов модуль, Артинова группа, Артиново кольцо, Композиционный ряд, Нётеров модуль, Нётерова группа, Нётерово кольцо).