Объем

трехмерного тела - числовая характеристика тела, равная в простейшем случае, когда тело можно разбить на конечное множество единичных кубов (т. е. кубов с ребрами длины единица), числу этих кубов. О. трехмерных тел (т. е. множеств трехмерного евклидоБа пространства), для к-рых они определены, обладают свойствами, аналогичными свойствам площадей плоских фигур: 1) О. неотрицательны; 2) О. аддитивны: если для двух тел Ри Q, не имеющих общих внутренних точек, определены О. [img: http://localhost:8080/file/031603-141.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031603-142.jpg],то О. их объединения равен сумме их О. [img: http://localhost:8080/file/031603-143.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031603-144.jpg] 3) О. инвариантны относительно перемещений: если для тел Ри Qопределены О. и они конгруентны, то [img: http://localhost:8080/file/031603-145.jpg] 4) О. единичного куба равен единице. Из этих свойств следуют монотонность О.: если для тел Ри Qопределены О. [img: http://localhost:8080/file/031603-146.jpg] то выполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/031603-147.jpg] и равенство отношения О. подобных тел кубу коэффициента подобия. На множестве всех многогранников существует и притом единственная неотрицательная функция, удовлетворяющая свойствам 1) - 4). Однако если на плоскости два любых равновеликих (имеющих одинаковую площадь) многоугольника равносоставлены, т. е. каждый из них допускает разбиение на многоугольники, из к-рых можно составить другой, то в пространстве аналогичное свойство уже не имеет места: существуют равновеликие (имеющие равные О.), но не равносоставленные многогранники (см. Равновеликие и равносоставленные фигуры). Понятие О. распространяется с сохранением свойств 1) - 4) при помощи предельного перехода с множества многогранников на более широкие классы тел, напр, на тела с кусочно гладкой границей, в частности на шары, шаровые слои, шаровые сегменты и секторы, цилиндры, конусы и т. п. Если граница ограниченного тела G является кусочно гладкой поверхностью, то его О. [img: http://localhost:8080/file/031603-148.jpg] определяется следующим образом. Рассматриваются всевозможные многогранники Р, лежащие в теле G, и всевозможные многогранники Q, содержащие в себе тело [img: http://localhost:8080/file/031603-149.jpg] Тогда справедливо равенство [img: http://localhost:8080/file/031603-150.jpg] Это общее значение указанных нижней и верхней граней и наз. объемом [img: http://localhost:8080/file/031603-151.jpg] тела G. Аналогично случаю вычисления площадей плоских фигур для вычисления О. тел также применяется метод разбиения тела на части, для к-рых О. либо уже известен, либо может быть найден более простым путем. При этом для О. справедлив принцип Кавальери: если два тела, для к-рых определен О., пересекаются каждой плоскостью, параллельной нек-рой заданной, по конгруэнтным плоским фигурам, то они равновелики. О6щий метод вычисления О. дает интегральное исчисление: вычисление О. сводится к вычислению соответствующих кратных интегралов. Интегральное исчисление дает возможность обосновать и принцип Кавальери. Расширение понятия О. на еще более широкий класс подмножеств трехмерного евклидова пространства приводит к понятию трехмерной Жордана меры и понятию кубируемого множества. Все упоминавшиеся выше тела являются кубируемыми множествами и потому для них определена мера Жордана. Если [img: http://localhost:8080/file/031603-152.jpg] - трехмерное непрерывно дифференцируемое многообразие с рнмановой метрикой [img: http://localhost:8080/file/031603-153.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031603-154.jpg] то объемом множества E, лежащего в многообразии [img: http://localhost:8080/file/031603-155.jpg], наз. величина интеграла [img: http://localhost:8080/file/031603-156.jpg] Так определенный О. множества инвариантен относительно выбора локальных координат на рассматриваемом многообразии. Определение О. трехмерного тела обобщается на случай подмножества произвольного n-мерного евклидова пространства [img: http://localhost:8080/file/031603-157.jpg]; n-мерным объемом также наз. функция множества, удовлетворяющая условиям 1) - 4), если только под кубом понимать n-мерный куб. Вычисление О. множеств n-мерного пространства сводится к вычислению n-кратных интегралов. Если Еесть n-мерный параллелепипед, натянутый на радиус-векторы [img: http://localhost:8080/file/031603-158.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031603-159.jpg] (под корнем стоит абсолютная величина определителя Грама векторов [img: http://localhost:8080/file/031603-160.jpg]). О. подмножества Е п- мерного риманова многообразия с метрикой [img: http://localhost:8080/file/031603-161.jpg] наз. величина интеграла [img: http://localhost:8080/file/031603-162.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031603-163.jpg] Обобщением понятия О. является понятие меры. Иногда термины "О". и "мера" употребляются как синонимы. Понятие О. рассматривается не только в евклидовых, но и в аффинных пространствах. Пусть Е- подмножество n-мерного аффинного пространства [img: http://localhost:8080/file/031603-164.jpg] и пусть в [img: http://localhost:8080/file/031603-165.jpg] задана аффинная система координат [img: http://localhost:8080/file/031603-166.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/031603-167.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/031603-168.jpg] - другая система координат и [img: http://localhost:8080/file/031603-169.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031603-170.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031603-171.jpg] т. е. интеграл [img: http://localhost:8080/file/031603-172.jpg] является знакопостоянным относительным инвариантом веса - 1. Относительный инвариант [img: http://localhost:8080/file/031603-173.jpg] наз. аффинным О. множества Е. Аффинный О. но меняется при параллельном переносе. и если [img: http://localhost:8080/file/031603-174.jpg] определены, то [img: http://localhost:8080/file/031603-175.jpg]. Аффинный О. обладает следующими свойствами, инвариантными относительно аффинного преобразования координат: 1) если О. двух тел равны в одной системе координат, то они равны и в другой; 2) если О. нек-рого множества равен сумме О. двух множеств в одной координатной системе, то это равенство верно и в другой; 3) отношение О. двух множеств является инвариантом аффинного преобразования координат. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031603-176.jpg] - координатные векторы системы координат [img: http://localhost:8080/file/031603-177.jpg] в пространстве [img: http://localhost:8080/file/031603-178.jpg] и пусть их начала находятся в нек-рой фиксированной точке [img: http://localhost:8080/file/031603-179.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/031603-180.jpg] - нек-рая система векторов с началом в точке Ои Еесть n-мерный параллелепипед, натянутый на векторы [img: http://localhost:8080/file/031603-181.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031603-182.jpg] Величина [img: http://localhost:8080/file/031603-183.jpg] наз. ориентированным объемом параллелепипеда Еотносительно выбранного базиса [img: http://localhost:8080/file/031603-184.jpg]