Объемный потенциал

- выражение вида [img: http://localhost:8080/file/031603-189.jpg] где D- конечная область евклидова пространства [img: http://localhost:8080/file/031603-190.jpg] ограниченная замкнутой поверхностью (при N - 2- кривой) Ляпунова [img: http://localhost:8080/file/031603-191.jpg] - фундаментальное решение оператора Лапласа, [img: http://localhost:8080/file/031603-192.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031603-193.jpg] - площадь единичной сферы в [img: http://localhost:8080/file/031603-194.jpg] - расстояние между точками хи у, [img: http://localhost:8080/file/031603-195.jpg] - элемент объема D. Если [img: http://localhost:8080/file/031603-196.jpg] то О. п. определен для всех [img: http://localhost:8080/file/031603-197.jpg]. При этом в дополнительной области CD функция и(х)имеет производные всех порядков и удовлетворяет Лапласа уравнению [img: http://localhost:8080/file/031603-198.jpg] т. е. является гармонической функцией;при [img: http://localhost:8080/file/031603-199.jpg]. эта функция регулярна на бесконечности, [img: http://localhost:8080/file/031603-200.jpg] В области DО. п. и(х). принадлежит классу [img: http://localhost:8080/file/031603-201.jpg] и удовлетворяет Пуассона уравнению [img: http://localhost:8080/file/031603-202.jpg]. Эти свойства обобщаются в различных направлениях. Напр., если [img: http://localhost:8080/file/031603-203.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031603-204.jpg] в Dсуществуют обобщенные производные 2-го порядка от и(х)и почти всюду в Dудовлетворяется уравнение Пуассона [img: http://localhost:8080/file/031603-205.jpg] Изучены также свойства О. п. произвольной меры [img: http://localhost:8080/file/031603-206.jpg] Радона, сосредоточенной на N-мерной области D: [img: http://localhost:8080/file/031603-207.jpg] Здесь также [img: http://localhost:8080/file/031603-208.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031603-209.jpg] почти всюду в D. где [img: http://localhost:8080/file/031603-210.jpg] - производная меры m по мере Лебега в [img: http://localhost:8080/file/031603-211.jpg]. В определении (*) фундаментальное решение оператора Лапласа можно заменить на произвольную функцию Леви для общего эллиптич. оператора 2-го порядка Lс переменными коэффициентами класса [img: http://localhost:8080/file/031603-212.jpg]; при этом перечисленные выше свойства остаются в силе с заменой [img: http://localhost:8080/file/031603-213.jpg] (см. [2]-[4]). О. п. применяется при решении краевых задач для эллиптич. уравнений с частными производными (см. При решении краевых задач для параболич. уравнений используется также понятие объемного теплового потенциала вида [img: http://localhost:8080/file/031603-214.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031603-215.jpg] - фундаментальное решение уравнения теплопроводности в [img: http://localhost:8080/file/031603-216.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/031603-217.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031603-218.jpg] - плотность. Функция [img: http://localhost:8080/file/031603-219.jpg] и ее обобщения на случай произвольного параболич. уравнения 2-го порядка имеют свойства, близкие к указанным выше для и(x)(см. [3] - [6]).